(1) 関数 $f(x) = \log(\sin x)$ のグラフ $y = f(x)$ 上の点 $(\frac{3\pi}{4}, f(\frac{3\pi}{4}))$ における接線の方程式を求めよ。 (2) $xy$ 平面において、原点から曲線 $y = x + e^x$ に接線を引くとき、接点の座標を求めよ。 (3) 媒介変数 $t > 0$ を用いて $x = t + e^t$, $y = 2 + \log t$ と表された曲線の $t=1$ に対応する点における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \log(\sin x)$ のグラフ $y = f(x)$ 上の点 $(\frac{3\pi}{4}, f(\frac{3\pi}{4}))$ における接線の方程式を求めよ。

(2) $xy$ 平面において、原点から曲線 $y = x + e^x$ に接線を引くとき、接点の座標を求めよ。

(3) 媒介変数 $t > 0$ を用いて $x = t + e^t$, $y = 2 + \log t$ と表された曲線の $t=1$ に対応する点における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x) = \log(\sin x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

点 $(\frac{3\pi}{4}, f(\frac{3\pi}{4}))$ における接線の傾き $m$ は、

$m = f'(\frac{3\pi}{4}) = \cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$

また、$f(\frac{3\pi}{4}) = \log(\sin(\frac{3\pi}{4})) = \log(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \log(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2}\log 2$

接線の方程式は、

$y - f(\frac{3\pi}{4}) = m(x - \frac{3\pi}{4})$

$y + \frac{1}{2}\log 2 = -1(x - \frac{3\pi}{4})$

$y = -x + \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2$

(2)

接点の座標を $(t, t + e^t)$ とする。

$y = x + e^x$ を微分すると、$\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$

接点 $(t, t + e^t)$ における接線の傾きは $1 + e^t$。

接線の方程式は、

$y - (t + e^t) = (1 + e^t)(x - t)$

これが原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 - (t + e^t) = (1 + e^t)(0 - t)$

$-t - e^t = -t - te^t$

$e^t = te^t$

$e^t(1-t) = 0$

$t > 0$ より、$e^t > 0$ なので、$1 - t = 0$

$t = 1$

よって、接点の座標は $(1, 1 + e^1) = (1, 1 + e)$

(3)

$\frac{dx}{dt} = 1 + e^t$, $\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{1}{t}}{1 + e^t} = \frac{1}{t(1 + e^t)}$

$t=1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1(1+e^1)} = \frac{1}{1+e}$

また、$x = 1 + e^1 = 1 + e$, $y = 2 + \log 1 = 2$

接線の方程式は、

$y - 2 = \frac{1}{1+e}(x - (1+e))$

$y = \frac{1}{1+e}x - \frac{1+e}{1+e} + 2$

$y = \frac{1}{1+e}x - 1 + 2$

$y = \frac{1}{1+e}x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2$

(2) $(1, 1 + e)$

(3) $y = \frac{1}{1+e}x + 1$