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以下の6つの方程式または不等式を、0 ≤ θ < 2π の範囲で解きます。 (1) $2\sqrt{3} \cos \theta - 3 = 0$ (2) $\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0$ (3) $2\sin \theta + \sqrt{3} < 0$ (4) $\tan \theta + \sqrt{3} \le 0$ (5) $\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (6) $\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

解析学三角関数三角方程式三角不等式加法定理
2025/6/10
はい、承知いたしました。三角関数の問題ですね。0 ≤ θ < 2π の範囲で、以下の方程式と不等式を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの方程式または不等式を、0 ≤ θ < 2π の範囲で解きます。
(1) 23cos⁡θ−3=02\sqrt{3} \cos \theta - 3 = 0
(2) 3tan⁡θ+1=0\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0
(3) 2sin⁡θ+3<02\sin \theta + \sqrt{3} < 0
(4) tan⁡θ+3≤0\tan \theta + \sqrt{3} \le 0
(5) cos⁡(θ+π3)=−32\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
(6) cos⁡(θ+π3)>−32\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2}

2. 解き方の手順

(1) 23cos⁡θ−3=02\sqrt{3} \cos \theta - 3 = 0 を解きます。
まず、cos⁡θ\cos \theta について解きます。
23cos⁡θ=32\sqrt{3} \cos \theta = 3
cos⁡θ=323=32\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ=32\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} となる θ は、θ=π6,11π6\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} です。
(2) 3tan⁡θ+1=0\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0 を解きます。
まず、tan⁡θ\tan \theta について解きます。
3tan⁡θ=−1\sqrt{3} \tan \theta = -1
tan⁡θ=−13\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}
tan⁡θ=−13\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} となる θ は、θ=5π6,11π6\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} です。
(3) 2sin⁡θ+3<02\sin \theta + \sqrt{3} < 0 を解きます。
まず、sin⁡θ\sin \theta について解きます。
2sin⁡θ<−32\sin \theta < -\sqrt{3}
sin⁡θ<−32\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡θ=−32\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} となる θ は、θ=4π3,5π3\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} です。
sin⁡θ<−32\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2} となる範囲は、4π3<θ<5π3\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3} です。
(4) tan⁡θ+3≤0\tan \theta + \sqrt{3} \le 0 を解きます。
まず、tan⁡θ\tan \theta について解きます。
tan⁡θ≤−3\tan \theta \le -\sqrt{3}
tan⁡θ=−3\tan \theta = -\sqrt{3} となる θ は、θ=2π3,5π3\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} です。
tan⁡θ≤−3\tan \theta \le -\sqrt{3} となる範囲は、π2<θ≤2π3\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2\pi}{3} および 3π2<θ≤5π3\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{3} です。
(5) cos⁡(θ+π3)=−32\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} を解きます。
α=θ+π3\alpha = \theta + \frac{\pi}{3} と置くと、cos⁡α=−32\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} となります。
cos⁡α=−32\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} となる α\alpha は、α=5π6,7π6\alpha = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} です。
よって、θ+π3=5π6\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} または θ+π3=7π6\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} です。
θ=5π6−π3=3π6=π2\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}
θ=7π6−π3=5π6\theta = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}
(6) cos⁡(θ+π3)>−32\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) > -\frac{\sqrt{3}}{2} を解きます。
α=θ+π3\alpha = \theta + \frac{\pi}{3} と置くと、cos⁡α>−32\cos \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2} となります。
cos⁡α=−32\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} となる α\alpha は、α=5π6,7π6\alpha = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} です。
cos⁡α>−32\cos \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2} となる範囲は、0≤α<5π60 \le \alpha < \frac{5\pi}{6} および 7π6<α<2π\frac{7\pi}{6} < \alpha < 2\pi です。
よって、0≤θ+π3<5π60 \le \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} および 7π6<θ+π3<2π\frac{7\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{3} < 2\pi です。
−π3≤θ<5π6−π3=π2-\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}
7π6−π3=5π6<θ<2π−π3=5π3\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}
0 ≤ θ < 2π の範囲なので、0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2} および 5π6<θ<5π3\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{3} です。

3. 最終的な答え

(1) θ=π6,11π6\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}
(2) θ=5π6,11π6\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}
(3) 4π3<θ<5π3\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}
(4) π2<θ≤2π3\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2\pi}{3}, 3π2<θ≤5π3\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{3}
(5) θ=π2,5π6\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}
(6) 0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2}, 5π6<θ<5π3\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{3}

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