与えられた3つの図形の面積をそれぞれ求める問題です。 (1) 曲線 $y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。 (2) 放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。 (3) 2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの図形の面積をそれぞれ求める問題です。

(1) 曲線 $y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

(2) 放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

(3) 2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = -x^3 + 3x^2$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$-x^3 + 3x^2 = 0$ より、$-x^2(x - 3) = 0$ となり、$x = 0, 3$ が交点です。

したがって、求める面積 $S$ は

$S = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2) dx$

$S = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3]_0^3 = -\frac{81}{4} + 27 = -\frac{81}{4} + \frac{108}{4} = \frac{27}{4}$

(2)

$y = 1 - x^2$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$1 - x^2 = 0$ より、$x^2 = 1$ となり、$x = -1, 1$ が交点です。

したがって、求める面積 $S$ は

$S = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx$

$S = [x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^1 = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

(3)

2つの放物線 $y = x^2 - 5x$ と $y = -x^2 - 2$ の交点を求めます。

$x^2 - 5x = -x^2 - 2$ より、$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$(2x - 1)(x - 2) = 0$ となり、$x = \frac{1}{2}, 2$ が交点です。

したがって、求める面積 $S$ は

$S = \int_{\frac{1}{2}}^2 (-x^2 - 2 - (x^2 - 5x)) dx$

$S = \int_{\frac{1}{2}}^2 (-2x^2 + 5x - 2) dx$

$S = [-\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x]_{\frac{1}{2}}^2$

$S = (-\frac{16}{3} + 10 - 4) - (-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} - 1) = -\frac{16}{3} + 6 + \frac{1}{12} - \frac{5}{8} + 1 = -\frac{16}{3} + 7 + \frac{2}{24} - \frac{15}{24} = -\frac{16}{3} + 7 - \frac{13}{24} = \frac{-128 + 168 - 13}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{27}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

(3) $\frac{9}{8}$