放物線 $C: y = x^2 + 2$ と直線 $l: y = 4x - 1$ があり、Cとlの交点のx座標が小さい順にA, Bとする。 (1) 点A, BにおけるCの接線 $l_A, l_B$ の方程式を求める。 (2) Cとlで囲まれる図形の面積 $S_1$ を求める。 (3) C, $l_A, l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求める。 (4) l, $l_A, l_B$ で囲まれる三角形の面積をSとする。Sを$S_1, S_2$で表す。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 + 2$ と直線 $l: y = 4x - 1$ があり、Cとlの交点のx座標が小さい順にA, Bとする。

(1) 点A, BにおけるCの接線 $l_A, l_B$ の方程式を求める。

(2) Cとlで囲まれる図形の面積 $S_1$ を求める。

(3) C, $l_A, l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求める。

(4) l, $l_A, l_B$ で囲まれる三角形の面積をSとする。Sを$S_1, S_2$で表す。

2. 解き方の手順

(1) まず、放物線 $y = x^2 + 2$ と直線 $y = 4x - 1$ の交点を求める。

$x^2 + 2 = 4x - 1$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、交点のx座標は $x = 1, 3$ となる。

したがって、A(1, 3), B(3, 11)。

次に、放物線 $y = x^2 + 2$ の導関数を求める。

$y' = 2x$

点A(1, 3)における接線 $l_A$ の傾きは $2(1) = 2$ なので、接線の方程式は

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 3$

$y = 2x + 1$

点B(3, 11)における接線 $l_B$ の傾きは $2(3) = 6$ なので、接線の方程式は

$y - 11 = 6(x - 3)$

$y = 6x - 18 + 11$

$y = 6x - 7$

(2) Cとlで囲まれる図形の面積 $S_1$ は、積分を使って求める。

$S_1 = \int_1^3 \{(4x - 1) - (x^2 + 2)\} dx = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) dx$

$S_1 = [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x]_1^3 = (-\frac{1}{3}(27) + 2(9) - 3(3)) - (-\frac{1}{3} + 2 - 3)$

$S_1 = (-9 + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$

(3) $l_A: y = 2x + 1$, $l_B: y = 6x - 7$

$l_A$とCの交点はA(1, 3)、$l_B$とCの交点はB(3, 11)。

$l_A$と$l_B$の交点を求める。

$2x + 1 = 6x - 7$

$4x = 8$

$x = 2$

$y = 2(2) + 1 = 5$

交点は(2, 5)。

$S_2 = \int_1^2 \{(x^2 + 2) - (2x + 1)\} dx + \int_2^3 \{(x^2 + 2) - (6x - 7)\} dx$

$S_2 = \int_1^2 (x^2 - 2x + 1) dx + \int_2^3 (x^2 - 6x + 9) dx$

$S_2 = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x]_1^2 + [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x]_2^3$

$S_2 = (\frac{8}{3} - 4 + 2) - (\frac{1}{3} - 1 + 1) + (\frac{27}{3} - 27 + 27) - (\frac{8}{3} - 12 + 18)$

$S_2 = (\frac{2}{3}) - (\frac{1}{3}) + (9 - (\frac{8}{3} + 6)) = \frac{1}{3} + 9 - \frac{8}{3} - 6 = 3 - \frac{7}{3} = \frac{2}{3}$

(4) l, $l_A, l_B$ で囲まれる三角形の面積をSとする。

交点は(1, 3), (3, 11), (2, 5)。

$S = \frac{1}{2} | (1(11 - 5) + 3(5 - 3) + 2(3 - 11)) |$

$S = \frac{1}{2} | (6 + 6 - 16) | = \frac{1}{2} | -4 | = 2$

$S_1 = \frac{4}{3}$, $S_2 = \frac{2}{3}$.

$S = aS_1 + bS_2$ の形で表すことを考える。

$2 = a (\frac{4}{3}) + b (\frac{2}{3})$

$6 = 4a + 2b$

$3 = 2a + b$

$b = 3 - 2a$

$l_A: y = 2x + 1$

$l_B: y = 6x - 7$

$l: y = 4x - 1$

$S_1 = \int_1^3 (4x-1 - (x^2+2)) dx = 4/3$

$S_A = \int_1^2 (2x+1 - (x^2+2)) dx = 1/3$

$S_B = \int_2^3 (6x-7 - (x^2+2)) dx = 1/3$

$S = \frac{1}{2}| (1\times(11-5) + 3\times(5-3) + 2\times(3-11)) | = \frac{1}{2}|6+6-16|=2$

$S= |S_1-S_A-S_B| = \frac{4}{3}- \frac{1}{3}- \frac{1}{3}=2/3$

面積は正の値をとるので、$S=\frac{2}{3}$.

Sを$S_1, S_2$で表すと$S = |S_1-S_A-S_B|$.

$l, l_A, l_B$で囲まれる三角形の面積は2, $S = \frac{1}{2} | (x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)) |$.

面積=2

最終的な答え

(1) $l_A: y = 2x + 1$

$l_B: y = 6x - 7$

(2) $S_1 = \frac{4}{3}$

(3) $S_2 = \frac{2}{3}$

(4) $S= \frac{1}{2}$