関数 $f(x)$ が積分を含む方程式 $f(x) = x + \int_0^1 f(t)e^t dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が積分を含む方程式 $f(x) = x + \int_0^1 f(t)e^t dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

積分 $\int_0^1 f(t)e^t dt$ は定数なので、$A$ とおく。

$A = \int_0^1 f(t)e^t dt$

すると、$f(x)$ は次のように書ける。

$f(x) = x + A$

この式を元の積分に代入する。

$A = \int_0^1 (t+A)e^t dt$

右辺の積分を計算する。

$A = \int_0^1 te^t dt + A\int_0^1 e^t dt$

部分積分 $\int te^t dt$ を計算する。

$u = t$, $dv = e^t dt$ とすると $du = dt$, $v = e^t$ なので、

$\int te^t dt = te^t - \int e^t dt = te^t - e^t + C$

したがって、

$\int_0^1 te^t dt = [te^t - e^t]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1$

$\int_0^1 e^t dt = [e^t]_0^1 = e - 1$

これらを代入して、$A$ についての方程式を得る。

$A = 1 + A(e-1)$

$A = 1 + Ae - A$

$2A - Ae = 1$

$A(2-e) = 1$

$A = \frac{1}{2-e}$

$f(x) = x + A$ に $A$ の値を代入する。

$f(x) = x + \frac{1}{2-e}$

3. 最終的な答え

$f(x) = x + \frac{1}{2-e}$