次の条件を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。 (1) $f'(x) = 6x - 4$, $f(-1) = 2$ (2) $f(x) = 3x^2 + (2x - 1) \int_{-1}^{1} f(t) dt$ (3) $\int_{a}^{x} f(t) dt = ax^2 - 3x + 2$, $a < 0$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の条件を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

(1) $f'(x) = 6x - 4$, $f(-1) = 2$

(2) $f(x) = 3x^2 + (2x - 1) \int_{-1}^{1} f(t) dt$

(3) $\int_{a}^{x} f(t) dt = ax^2 - 3x + 2$, $a < 0$

2. 解き方の手順

(1)

$f'(x) = 6x - 4$ より、$f(x)$ は $f(x) = \int (6x - 4) dx = 3x^2 - 4x + C$ ($C$は積分定数) と表せる。

$f(-1) = 2$ より、$3(-1)^2 - 4(-1) + C = 2$

$3 + 4 + C = 2$

$C = -5$

よって、$f(x) = 3x^2 - 4x - 5$

(2)

$\int_{-1}^{1} f(t) dt = A$ （定数）とおくと、$f(x) = 3x^2 + (2x - 1)A$

$\int_{-1}^{1} f(t) dt = \int_{-1}^{1} (3t^2 + (2t - 1)A) dt = A$

$\int_{-1}^{1} (3t^2 + 2At - A) dt = [t^3 + At^2 - At]_{-1}^{1} = (1 + A - A) - (-1 + A + A) = 2 - 2A = A$

$2 = 3A$ より、$A = \frac{2}{3}$

よって、$f(x) = 3x^2 + (2x - 1) \frac{2}{3} = 3x^2 + \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}$

(3)

$\int_{a}^{x} f(t) dt = ax^2 - 3x + 2$ の両辺を $x$ で微分すると、$f(x) = 2ax - 3$

$\int_{a}^{x} f(t) dt = \int_{a}^{x} (2at - 3) dt = [at^2 - 3t]_{a}^{x} = (ax^2 - 3x) - (a^3 - 3a) = ax^2 - 3x + 2$

したがって、$a^3 - 3a = -2$

$a^3 - 3a + 2 = 0$

$(a - 1)(a^2 + a - 2) = 0$

$(a - 1)(a - 1)(a + 2) = 0$

$(a - 1)^2 (a + 2) = 0$

$a = 1$ または $a = -2$

条件より、$a < 0$ なので、$a = -2$

$f(x) = 2ax - 3 = 2(-2)x - 3 = -4x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3x^2 - 4x - 5$

(2) $f(x) = 3x^2 + \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}$

(3) $f(x) = -4x - 3$