問題は、以下の積分または公式を求めるものです。 問題(10): $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a} + C $ を確認する、または関連する積分を求める。 問題(11): $\int \sqrt{x^2 + A} dx = x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}| + C $ を調べる、または関連する積分を求める。ただし、$A \neq 0$ 問題(12): $e^{\tan^{-1}x}(x-1)$ の微分を求める。

1. 問題の内容

問題は、以下の積分または公式を求めるものです。

問題(10): $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$ を確認する、または関連する積分を求める。

問題(11): $\int \sqrt{x^2 + A} dx = x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}| + C$ を調べる、または関連する積分を求める。ただし、$A \neq 0$

問題(12): $e^{\tan^{-1}x}(x-1)$ の微分を求める。

2. 解き方の手順

問題(10): 公式を確認します。

$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$

与えられた式と少し異なっていますが、本質的には同じです。おそらく定数倍の違いです。与えられた式は定数倍が抜けている可能性があります。正しくは

$\frac{1}{2}x\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}$ だと思われます。

問題(11): 公式を確認します。

$\int \sqrt{x^2 + A} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + A} + \frac{A}{2} \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{A}} + C$

または、$A>0$ に対して、

$\int \sqrt{x^2 + A} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + A} + \frac{A}{2} \ln(x + \sqrt{x^2 + A}) + C$

与えられた式と比較すると、$x\sqrt{x^2+A}$の前についている係数が間違っていて、$\log |x + \sqrt{x^2+A}|$ の前についている係数も間違っている。正しくは

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+A} + \frac{A}{2}\log |x + \sqrt{x^2+A}|$ だと思われます。

問題(12): 微分を行います。

$y = e^{\tan^{-1}x}(x-1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\tan^{-1}x}(x-1))$

積の微分法則より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\tan^{-1}x})(x-1) + e^{\tan^{-1}x}\frac{d}{dx}(x-1)$

$\frac{d}{dx}(e^{\tan^{-1}x}) = e^{\tan^{-1}x}\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = e^{\tan^{-1}x}\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$\frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1}x}\frac{1}{1+x^2}(x-1) + e^{\tan^{-1}x} = e^{\tan^{-1}x}(\frac{x-1}{1+x^2} + 1) = e^{\tan^{-1}x}(\frac{x-1 + 1 + x^2}{1+x^2}) = e^{\tan^{-1}x}(\frac{x^2 + x}{1+x^2}) = \frac{x(x+1)}{1+x^2}e^{\tan^{-1}x}$

3. 最終的な答え

問題(10): $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$

問題(11): $\int \sqrt{x^2 + A} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + A} + \frac{A}{2} \log |x + \sqrt{x^2 + A}| + C$

問題(12): $\frac{dy}{dx} = \frac{x(x+1)}{1+x^2}e^{\tan^{-1}x}$