問題は、$x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ ($A \neq 0$) を微分することです。

1. 問題の内容

問題は、$x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ ($A \neq 0$) を微分することです。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $f(x) = x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ とします。

微分を計算するために、積の法則と合成関数の微分を利用します。

まず、$x\sqrt{x^2 + A}$ の微分を計算します。

$u(x) = x$, $v(x) = \sqrt{x^2 + A}$ とおくと、

$u'(x) = 1$, $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}}$

したがって、

$\frac{d}{dx}(x\sqrt{x^2 + A}) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \sqrt{x^2 + A} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}} = \sqrt{x^2 + A} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + A}}$

$= \frac{x^2 + A + x^2}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}}$

次に、$A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ の微分を計算します。

$\frac{d}{dx} (A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|) = A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + A}}) = A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}})$

$= A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (\frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}) = \frac{A}{\sqrt{x^2 + A}}$

したがって、$f(x)$ の微分は、

$f'(x) = \frac{2x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}} + \frac{A}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2x^2 + A + A}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2x^2 + 2A}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2(x^2 + A)}{\sqrt{x^2 + A}} = 2\sqrt{x^2 + A}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{x^2 + A}$