与えられた式を微分することを求められています。 与えられた式は $5\sqrt{(x^2+1)^4} \cdot 3\sqrt{(x^2+2)^2}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を微分することを求められています。

与えられた式は $5\sqrt{(x^2+1)^4} \cdot 3\sqrt{(x^2+2)^2}$ です。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数に変換します。

$5\sqrt{(x^2+1)^4} = ((x^2+1)^4)^{1/5} = (x^2+1)^{4/5}$

$3\sqrt{(x^2+2)^2} = ((x^2+2)^2)^{1/3} = (x^2+2)^{2/3}$

よって、与えられた式は

$(x^2+1)^{4/5} \cdot (x^2+2)^{2/3}$

となります。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いて微分します。

$u = (x^2+1)^{4/5}$ と $v = (x^2+2)^{2/3}$ とすると

$u' = \frac{4}{5}(x^2+1)^{\frac{4}{5}-1} \cdot (2x) = \frac{8x}{5}(x^2+1)^{-1/5}$

$v' = \frac{2}{3}(x^2+2)^{\frac{2}{3}-1} \cdot (2x) = \frac{4x}{3}(x^2+2)^{-1/3}$

よって、

$\frac{d}{dx} [(x^2+1)^{4/5} \cdot (x^2+2)^{2/3}] = u'v + uv'$

$= \frac{8x}{5}(x^2+1)^{-1/5}(x^2+2)^{2/3} + (x^2+1)^{4/5} \cdot \frac{4x}{3}(x^2+2)^{-1/3}$

$= \frac{8x(x^2+2)^{2/3}}{5(x^2+1)^{1/5}} + \frac{4x(x^2+1)^{4/5}}{3(x^2+2)^{1/3}}$

$= 4x \left[ \frac{2(x^2+2)^{2/3}}{5(x^2+1)^{1/5}} + \frac{(x^2+1)^{4/5}}{3(x^2+2)^{1/3}}\right]$

$= 4x \left[ \frac{6(x^2+2)}{15(x^2+1)^{1/5}(x^2+2)^{1/3}} + \frac{5(x^2+1)}{15(x^2+1)^{1/5}(x^2+2)^{1/3}}\right]$

$= \frac{4x}{15(x^2+1)^{1/5}(x^2+2)^{1/3}} [6(x^2+2) + 5(x^2+1)]$

$= \frac{4x}{15(x^2+1)^{1/5}(x^2+2)^{1/3}} [6x^2+12 + 5x^2+5]$

$= \frac{4x(11x^2+17)}{15(x^2+1)^{1/5}(x^2+2)^{1/3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{4x(11x^2+17)}{15(x^2+1)^{1/5}(x^2+2)^{1/3}}$