4次関数 $y = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2$ をCとする。Cと異なる2点で接する直線を $l$ とする。曲線Cと直線 $l$ に囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

4次関数 $y = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2$ をCとする。Cと異なる2点で接する直線を $l$ とする。曲線Cと直線 $l$ に囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2$ を式変形する。

$y = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2 = (x^4 - 2x^3 + x^2) - 2x + 2 = x^2(x^2 - 2x + 1) - 2x + 2 = x^2(x-1)^2 - 2(x-1)$

$y = (x(x-1))^2 - 2(x-1)$

ここで、$x(x-1) = t$ とおく。すると、$y = t^2 - 2x + 2$となる。

$x^2 - x = t$なので、$x^2 - x - t = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1+4t}}{2}$ となる。

2点で接する直線を $y = ax + b$とおく。

$x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2 = ax + b$

$x^4 - 2x^3 + x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$

この式は異なる2点で接するので、$(x-\alpha)^2 (x-\beta)^2 = 0$と因数分解できるはずである。

つまり、$x^4 - 2x^3 + x^2 - (2+a)x + (2-b) = (x^2 + cx + d)^2$と書けるはずである。

$(x^2 + cx + d)^2 = x^4 + 2cx^3 + (c^2 + 2d)x^2 + 2cdx + d^2$

係数比較により、

$2c = -2$ より $c = -1$

$c^2 + 2d = 1$ より $1 + 2d = 1$ よって $d = 0$

$2cd = -(2+a)$ より $0 = -(2+a)$ よって $a = -2$

$d^2 = 2-b$ より $0 = 2-b$ よって $b = 2$

したがって、接線の方程式は $y = -2x + 2$ である。

面積は$\int_{\alpha}^{\beta} (x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2) - (-2x + 2) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (x^4 - 2x^3 + x^2) dx = \int_{\alpha}^{\beta} x^2(x-1)^2 dx = \int_{\alpha}^{\beta} (x(x-1))^2 dx$

接点は、$x^4 - 2x^3 + x^2 = 0$ を解けばよいので、$x^2(x-1)^2 = 0$ より $x = 0, 1$

したがって、

$\int_{0}^{1} x^2(x-1)^2 dx = \int_{0}^{1} x^2(x^2 - 2x + 1) dx = \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^3 + x^2) dx = [\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 - 15 + 10}{30} = \frac{1}{30}$

3. 最終的な答え

1/30