関数 $y = 2\cos x - \cos^2 x$ の最大値と最小値を、定義域 $0 \le x \le 2\pi$ において求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\cos x - \cos^2 x$ の最大値と最小値を、定義域 $0 \le x \le 2\pi$ において求める問題です。

2. 解き方の手順

$\cos x = t$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、関数は $y = 2t - t^2$ となります。

$y$ を $t$ について平方完成すると、

$y = -(t^2 - 2t) = -(t^2 - 2t + 1 - 1) = -(t-1)^2 + 1$

となります。

$y$ は上に凸な放物線であり、軸は $t=1$ です。定義域 $-1 \le t \le 1$ において、

$t = 1$ のとき、最大値 $1$ をとります。このとき、$\cos x = 1$ なので、$x = 0, 2\pi$ です。

$t = -1$ のとき、最小値 $2(-1) - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$ をとります。このとき、$\cos x = -1$ なので、$x = \pi$ です。

3. 最終的な答え

最大値：1 (x = 0, 2πのとき)

最小値：-3 (x = πのとき)