与えられた微分方程式に対して、括弧内に示された関数が解として正しいかどうかを検証する問題です。具体的には以下の3つの問題があります。 (f) $y'' = -y$ に対し、$y = A \cos x + 5A \sin x$ が解であるか。 (g) $xy' = -y$ に対し、$xy = A$ が解であるか。 (h) $y' = xy$ に対し、$y = Ae^{x^2/2}$ が解であるか (問題文では $Ae^{x^2/3}$ となっていますが、解が成立しないため、$Ae^{x^2/2}$と解釈します)。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式に対して、括弧内に示された関数が解として正しいかどうかを検証する問題です。具体的には以下の3つの問題があります。

(f) $y'' = -y$ に対し、$y = A \cos x + 5A \sin x$ が解であるか。

(g) $xy' = -y$ に対し、$xy = A$ が解であるか。

(h) $y' = xy$ に対し、$y = Ae^{x^2/2}$ が解であるか (問題文では $Ae^{x^2/3}$ となっていますが、解が成立しないため、$Ae^{x^2/2}$と解釈します)。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分し、微分方程式に代入して等式が成り立つかどうかを確認します。

(f) $y = A \cos x + 5A \sin x$ の場合：

1階微分: $y' = -A \sin x + 5A \cos x$

2階微分: $y'' = -A \cos x - 5A \sin x = - (A \cos x + 5A \sin x) = -y$

$y'' = -y$ が成り立つので、$y = A \cos x + 5A \sin x$ は解です。

(g) $xy = A$ の場合：

両辺を $x$ で微分します。$x y' + y = 0$。

よって $xy' = -y$。

$xy' = -y$ が成り立つので、$xy = A$ は解です。

(h) $y = A e^{x^2/2}$ の場合：

$y' = A e^{x^2/2} \cdot x = xy$

$y' = xy$ が成り立つので、$y = A e^{x^2/2}$ は解です。

3. 最終的な答え

(f) $y = A \cos x + 5A \sin x$ は $y'' = -y$ の解である。

(g) $xy = A$ は $xy' = -y$ の解である。

(h) $y = A e^{x^2/2}$ は $y' = xy$ の解である。(問題文の$y = A e^{x^2/3}$は誤りである。)