関数 $y = \tan x$ を、$n=4$ としてマクローリンの定理を適用したときの式 $y = x + \frac{x^3}{(\text{ア})} + \frac{\sin \theta x (\text{イ} + \sin^2 \theta x)}{(\text{ウ}) \cos^5 \theta x} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$ において、空欄（ア）、（イ）、（ウ）に入る適切な数字を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan x$ を、$n=4$ としてマクローリンの定理を適用したときの式

$y = x + \frac{x^3}{(\text{ア})} + \frac{\sin \theta x (\text{イ} + \sin^2 \theta x)}{(\text{ウ}) \cos^5 \theta x} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$

において、空欄（ア）、（イ）、（ウ）に入る適切な数字を求める。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものであり、以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \cdots$

$f(x) = \tan x$ について、必要な微分を計算します。

$f(x) = \tan x$

$f(0) = \tan 0 = 0$

$f'(x) = \sec^2 x$

$f'(0) = \sec^2 0 = 1$

$f''(x) = 2\sec x (\sec x \tan x) = 2\sec^2 x \tan x$

$f''(0) = 2\sec^2 0 \tan 0 = 0$

$f'''(x) = 2(2\sec^2 x \tan^2 x + \sec^4 x) = 4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$

$f'''(0) = 4\sec^2 0 \tan^2 0 + 2\sec^4 0 = 0 + 2(1) = 2$

$f''''(x) = 8\sec^2 x \tan x (\tan^2 x) + 4\sec^2 x (2 \tan x) \sec^2 x + 8 \sec^3 x \sec x \tan x = 8\sec^2x\tan^3x + 8\sec^4x\tan x + 8\sec^4 x \tan x = 8 \sec^2 x \tan^3 x + 16 \sec^4 x \tan x$

$f''''(0) = 0$

$f'''''(x) = 8(2 \sec^2x \tan x) \tan^3x + 8\sec^2 x(3\tan^2x)\sec^2x + 16(4 \sec^3 x (\sec x \tan x)) \tan x + 16\sec^4 x(\sec^2 x) = 16 \sec^2x \tan^4 x + 24 \sec^4 x \tan^2 x + 64 \sec^4x \tan^2x + 16\sec^6 x = 16 \sec^2 x \tan^4 x + 88 \sec^4x \tan^2x + 16 \sec^6x$

$f'''''(0) = 16$

したがって、

$\tan x = x + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{16}{5!} x^5 + \cdots = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \cdots$

問題文の式と比較すると、

$\tan x = x + \frac{x^3}{(\text{ア})} + \frac{\sin \theta x (\text{イ} + \sin^2 \theta x)}{(\text{ウ}) \cos^5 \theta x} x^4$

$\frac{x^3}{(\text{ア})} = \frac{1}{3}x^3$ であるから、$(\text{ア}) = 3$

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \cdots$ なので、$x + \frac{1}{3}x^3$ までの近似で止めた場合の誤差項を求める必要がある。

ラグランジュの剰余項は、

$R_4(x) = \frac{f'''''(\theta x)}{5!}x^5 = \frac{(16 \sec^2 \theta x \tan^4 \theta x + 88 \sec^4 \theta x \tan^2 \theta x + 16 \sec^6 \theta x)}{5!} x^5= \frac{16 \sec^2 \theta x \tan^4 \theta x + 88 \sec^4 \theta x \tan^2 \theta x + 16 \sec^6 \theta x}{120}x^5$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{\sin \theta x (\text{イ} + \sin^2 \theta x)}{(\text{ウ}) \cos^5 \theta x} x^4$

$\frac{f'''''(\theta x)}{5!}x^5 = \frac{2}{15}x^5 + ... \approx \frac{\sin \theta x (\text{イ} + \sin^2 \theta x)}{(\text{ウ}) \cos^5 \theta x} x^4$

$f'''''(\theta x) = 16 \sec^2 (\theta x) \tan^4 (\theta x) + 88 \sec^4(\theta x) \tan^2 (\theta x) + 16 \sec^6 (\theta x)$.

$\theta x \approx 0$ であれば、$tan(\theta x) \approx \theta x$, $\sec(\theta x) \approx 1$ なので、$f'''''(\theta x) \approx 16$.

したがって、$\frac{16}{5!}x^5 = \frac{16}{120}x^5 = \frac{2}{15}x^5$.

$\frac{\sin(\theta x)(\text{イ} + \sin^2(\theta x))}{(\text{ウ})cos^5(\theta x)} \approx \frac{\theta x (\text{イ} + (\theta x)^2)}{(\text{ウ})} x^4 \frac{1}{\cos^5(\theta x)} = \frac{2}{15}x^5$

$(\text{ウ}) = 15$ ならば、 $\theta x (\text{イ} + (\theta x)^2) = 2 \theta x x^5$.

$(\text{イ})=2$.

3. 最終的な答え

ア：3

イ：2

ウ：15