関数 $y = 2\cos x - \cos^2 x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$)のグラフの概形を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\cos x - \cos^2 x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$)のグラフの概形を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $t = \cos x$ で表す：

$y = 2t - t^2$

(2) $y$ を平方完成する：

$y = - (t^2 - 2t)$

$y = - (t^2 - 2t + 1 - 1)$

$y = - (t-1)^2 + 1$

(3) $t = \cos x$ に戻す：

$y = - (\cos x - 1)^2 + 1$

(4) $y'$ を計算する：

$y' = -2(\cos x - 1)(-\sin x) = -2\sin x(\cos x - 1)$

(5) $y' = 0$ となる $x$ を求める：

$-2\sin x(\cos x - 1) = 0$

$\sin x = 0$ または $\cos x = 1$

$0 \le x \le 2\pi$ なので、

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi, 2\pi$

$\cos x = 1$ のとき、$x = 0, 2\pi$

(6) 増減表を作る：

| x | 0 | | $\pi$ | | $2\pi$ |

|------|-----|-----|--------|-----|--------|

| y' | 0 | + | 0 | - | 0 |

| y | 0 | ↑ | 1 | ↓ | 0 |

(7) $x=0$のとき、$y=2\cos(0) - \cos^2(0) = 2(1) - (1)^2 = 1$

$x=\pi$のとき、$y=2\cos(\pi) - \cos^2(\pi) = 2(-1) - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$

$x=2\pi$のとき、$y=2\cos(2\pi) - \cos^2(2\pi) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

計算間違い。

$x = 0, \pi, 2\pi$ について改めて計算する：

$y = - (\cos x - 1)^2 + 1$

$x=0$のとき、$y = - (1-1)^2 + 1 = 1$

$x=\pi$のとき、$y = - (-1-1)^2 + 1 = - (-2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$

$x=2\pi$のとき、$y = - (1-1)^2 + 1 = 1$

増減表は、$\cos x$ が $1$ に近づくとき $y'$ の符号が変わらないので、少し修正が必要です。

$\cos x = 1$ となる $x$ は $x=0$ と $x=2\pi$ なので、$x=0$ と $x=2\pi$ の近くで $y'$ の符号は変化しません。

| x | 0 | | $\pi$ | | $2\pi$ |

|------|-----|-----|--------|-----|--------|

| y' | 0 | + | 0 | - | 0 |

| y | 0 | ↑ | 1 | ↓ | 0 |

増減表を使ってグラフを描く。

3. 最終的な答え

グラフの概形は以下のようになります。

- $x = 0$ で $y = 0$ （最小値）。

- $x = \pi$ で $y = 1$ （最大値）。

- $x = 2\pi$ で $y = 0$ （最小値）。

これらの点を滑らかにつないだ曲線がグラフの概形です。