次の曲線や直線およびx軸で囲まれた部分の面積Sを求める問題です。 (1) $y = \sqrt{x}$, $x = 2$ (2) $y = \cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$), $x = 0$ (3) $y = \log(x-1)$, $x = e+1$ (4) $y = e^x$, $x = 0$, $x = 1$

1. 問題の内容

次の曲線や直線およびx軸で囲まれた部分の面積Sを求める問題です。

(1) $y = \sqrt{x}$, $x = 2$

(2) $y = \cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$), $x = 0$

(3) $y = \log(x-1)$, $x = e+1$

(4) $y = e^x$, $x = 0$, $x = 1$

2. 解き方の手順

(1) 面積$S$は、$\sqrt{x}$ を $x = 0$ から $x = 2$ まで積分することで求められます。

$S = \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx$

$S = \int_{0}^{2} x^{\frac{1}{2}} \, dx$

$S = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2}$

$S = \frac{2}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}})$

$S = \frac{2}{3} (2\sqrt{2})$

$S = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

(2) 面積$S$は、$\cos x$ を $x = 0$ から $x = 0$ ($\frac{\pi}{2}$まで積分することで求められます。$x=0$という条件に意味はありません。誤植かもしれません。$x = \frac{\pi}{2}$でしょう)

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

$S = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$S = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0$

$S = 1 - 0$

$S = 1$

(3) 面積$S$は、$\log(x-1)$ を $x=1$から $x = e+1$まで積分することで求められます。

$S = \int_{1}^{e+1} \log(x-1) \, dx$

$u = x-1$とおくと、$du = dx$。積分範囲は$x=1$のとき$u=0$、$x=e+1$のとき$u=e$となる。

$S = \int_{0}^{e} \log u \, du$

ここで、部分積分を行う。$1 \cdot \log u$と考えて、$f(u) = \log u, g'(u) = 1$とすると、$f'(u) = \frac{1}{u}, g(u) = u$である。

$S = \left[ u \log u \right]_{0}^{e} - \int_{0}^{e} u \cdot \frac{1}{u} \, du$

$S = \left[ u \log u \right]_{0}^{e} - \int_{0}^{e} 1 \, du$

$S = \left[ u \log u \right]_{0}^{e} - \left[ u \right]_{0}^{e}$

$S = (e \log e - 0) - (e - 0)$

$S = e - e$

$S = 0$

しかし、log(x-1)はx=1で定義されないので、広義積分を考える必要があります。

$S = \lim_{a \to 1^{+}} \int_{a}^{e+1} \log(x-1) \, dx$

$u = x-1$とおくと、$du = dx$。積分範囲は$x=a$のとき$u=a-1$、$x=e+1$のとき$u=e$となる。

$S = \lim_{a \to 1^{+}} \int_{a-1}^{e} \log u \, du$

$S = \lim_{a \to 1^{+}} \left( \left[ u \log u \right]_{a-1}^{e} - \left[ u \right]_{a-1}^{e} \right)$

$S = \lim_{a \to 1^{+}} \left( (e \log e - (a-1)\log(a-1)) - (e - (a-1)) \right)$

$S = \lim_{a \to 1^{+}} \left( e - (a-1)\log(a-1) - e + a - 1 \right)$

$S = \lim_{a \to 1^{+}} \left( - (a-1)\log(a-1) + a - 1 \right)$

$t = a-1$とおくと、$a \to 1^{+}$のとき、$t \to 0^{+}$

$S = \lim_{t \to 0^{+}} \left( - t \log t + t \right)$

$S = \lim_{t \to 0^{+}} t (1 - \log t)$

$S = 0$

(4) 面積$S$は、$e^x$ を $x = 0$ から $x = 1$ まで積分することで求められます。

$S = \int_{0}^{1} e^x \, dx$

$S = \left[ e^x \right]_{0}^{1}$

$S = e^1 - e^0$

$S = e - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

(2) $1$

(3) $0$

(4) $e - 1$