問題は、与えられた曲線と直線、およびx軸で囲まれた領域の面積の和を求めることです。 (1) $y = -\frac{3}{x} + 2$, $x=1$, $x=3$ (2) $y = \tan x$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた曲線と直線、およびx軸で囲まれた領域の面積の和を求めることです。

(1) $y = -\frac{3}{x} + 2$, $x=1$, $x=3$

(2) $y = \tan x$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$

2. 解き方の手順

(1) $y = -\frac{3}{x} + 2$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$-\frac{3}{x} + 2 = 0$ より、$2 = \frac{3}{x}$ なので、$x = \frac{3}{2}$。

したがって、$x = 1$ から $x = \frac{3}{2}$ の範囲では $y < 0$、$x = \frac{3}{2}$ から $x = 3$ の範囲では $y > 0$ となります。

面積 $S_1$ は

$S_1 = \int_{1}^{\frac{3}{2}} \left| -\frac{3}{x} + 2 \right| dx = \int_{1}^{\frac{3}{2}} \left( \frac{3}{x} - 2 \right) dx = \left[ 3 \ln |x| - 2x \right]_1^{\frac{3}{2}} = 3 \ln \frac{3}{2} - 3 - (3 \ln 1 - 2) = 3 \ln \frac{3}{2} - 1$

面積 $S_2$ は

$S_2 = \int_{\frac{3}{2}}^{3} \left| -\frac{3}{x} + 2 \right| dx = \int_{\frac{3}{2}}^{3} \left( -\frac{3}{x} + 2 \right) dx = \left[ -3 \ln |x| + 2x \right]_{\frac{3}{2}}^{3} = -3 \ln 3 + 6 - \left( -3 \ln \frac{3}{2} + 3 \right) = -3 \ln 3 + 3 \ln \frac{3}{2} + 3 = -3 \ln \frac{3}{\frac{3}{2}} + 3 = -3 \ln 2 + 3$

面積の和 $S$ は

$S = S_1 + S_2 = (3 \ln \frac{3}{2} - 1) + (-3 \ln 2 + 3) = 3 \ln \frac{3}{2} - 3 \ln 2 + 2 = 3 \ln \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 = 3 \ln \frac{3}{4} + 2 = 2 + 3\ln\frac{3}{4}$

(2) $y = \tan x$ は奇関数であり、区間 $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ は原点に関して対称です。したがって、求める面積は

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} |\tan x| dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} -\tan x dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} dx = 2 [-\ln |\cos x|]_0^{\frac{\pi}{4}} = 2 \left( -\ln \left| \cos \frac{\pi}{4} \right| + \ln |\cos 0| \right) = 2 \left( -\ln \frac{\sqrt{2}}{2} + \ln 1 \right) = -2 \ln \frac{\sqrt{2}}{2} = -2 \ln 2^{-\frac{1}{2}} = \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $2 + 3\ln\frac{3}{4}$

(2) $\ln 2$