関数 $y = \log(\sqrt{x^2+1} + x)$ を微分して、$y'$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(\sqrt{x^2+1} + x)$ を微分して、$y'$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を利用する。

$y = \log(u)$ とおくと、$u = \sqrt{x^2+1} + x$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \log(u) = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2+1} + x)$

$\frac{d}{dx} (\sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx} (x) = 1$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1 = \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$