関数 $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。商の微分公式とは、$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ となるものです。

この問題では、$u = \sin x - \cos x$ および $v = \sin x + \cos x$ とおきます。

それぞれの微分を計算します。

$u' = \cos x + \sin x$

$v' = \cos x - \sin x$

商の微分公式に代入すると、

$y' = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{(\cos x \sin x + \cos^2 x + \sin^2 x + \sin x \cos x) - (\sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x + \cos x \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{(2\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x) - (2\sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{2\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{2\sin^2 x + 2\cos^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$y' = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x$ なので、

$y' = \frac{2}{1+\sin 2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

もしくは

$\frac{2}{1+\sin 2x}$