次の極限を求める問題です。 $y' = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h}$

2. 解き方の手順

この極限は、関数の微分係数の定義に基づいています。

$f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ とすると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h}$

となります。

$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ の微分を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

または、分子を有理化する方法で計算します。

$a = \sqrt[3]{x+h}$、 $b = \sqrt[3]{x}$ とすると、$a - b = \sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}$ です。

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ より、

$a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$

$\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x} = \frac{(x+h) - x}{(\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2} = \frac{h}{(\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2}$

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h((\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2}$

$h \to 0$ のとき、

$(\sqrt[3]{x+h})^2 \to (\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$

$\sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x} \to \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^2}$

$(\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$

よって、

$y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$