関数 $y = -2 \sin x (\cos x - 1)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -2 \sin x (\cos x - 1)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ と、合成関数の微分公式を使う。

まず、$u = -2 \sin x$、$v = \cos x - 1$ とおく。

$u' = -2 \cos x$

$v' = -\sin x$

したがって、

$y' = u'v + uv' = (-2 \cos x)(\cos x - 1) + (-2 \sin x)(-\sin x)$

$y' = -2 \cos^2 x + 2 \cos x + 2 \sin^2 x$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ であるから、

$y' = -2 \cos^2 x + 2 \cos x + 2(1 - \cos^2 x)$

$y' = -2 \cos^2 x + 2 \cos x + 2 - 2 \cos^2 x$

$y' = -4 \cos^2 x + 2 \cos x + 2$

$y' = -2(2 \cos^2 x - \cos x - 1)$

$y' = -2(2 \cos x + 1)(\cos x - 1)$

3. 最終的な答え

$y' = -4 \cos^2 x + 2 \cos x + 2 = -2(2 \cos x + 1)(\cos x - 1)$