与えられた関数 $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$ の微分 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$ の微分 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を書き換えます。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、$y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ となります。

次に、各項を $x^{\frac{1}{2}}$ で割って、$y$ を次のように変形します。

$y = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

$y = x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}})$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

$\frac{d}{dx}(2x^{\frac{1}{2}}) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{d}{dx}(-2x^{-\frac{1}{2}}) = -2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} = x^{-\frac{3}{2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$

$y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

共通因子$\sqrt{x}$でまとめるために、各項を$\sqrt{x}$を含む形で書き換えます。

$y' = \frac{3x}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2x\sqrt{x}}$

$y' = \frac{3x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

通分すると、

$y' = \frac{3x^2 + 2x + 2}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{3x}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{3x^2 + 2x + 2}{2x\sqrt{x}}$