曲線 $y = f(x) = x^3 - 3x$ の接線で、以下の点Pを通るものを全て求める。 (1) P(-1, -2) (2) P(2/3, -2) (3) P(-2, 2)

1. 問題の内容

曲線 $y = f(x) = x^3 - 3x$ の接線で、以下の点Pを通るものを全て求める。

(1) P(-1, -2)

(2) P(2/3, -2)

(3) P(-2, 2)

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = f(x) = x^3 - 3x$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 3$ なので、接線の傾きは $3t^2 - 3$ となる。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(1) 点 P(-1, -2) を通る場合、接線の方程式に代入すると、

$-2 = (3t^2 - 3)(-1) - 2t^3$

$-2 = -3t^2 + 3 - 2t^3$

$2t^3 + 3t^2 - 5 = 0$

$(t - 1)(2t^2 + 5t + 5) = 0$

$t = 1$ のみが実数解となる。

$t = 1$ を接線の方程式に代入すると、$y = (3 - 3)x - 2 = -2$

よって、$y = -2$

(2) 点 P(2/3, -2) を通る場合、接線の方程式に代入すると、

$-2 = (3t^2 - 3)(2/3) - 2t^3$

$-2 = 2t^2 - 2 - 2t^3$

$2t^3 - 2t^2 = 0$

$2t^2(t - 1) = 0$

$t = 0, 1$

$t = 0$ のとき、$y = -3x$

$t = 1$ のとき、$y = -2$

(3) 点 P(-2, 2) を通る場合、接線の方程式に代入すると、

$2 = (3t^2 - 3)(-2) - 2t^3$

$2 = -6t^2 + 6 - 2t^3$

$2t^3 + 6t^2 - 4 = 0$

$t^3 + 3t^2 - 2 = 0$

$(t + 1)(t^2 + 2t - 2) = 0$

$t = -1, -1 \pm \sqrt{3}$

$t = -1$ のとき、$y = (3(-1)^2 - 3)x - 2(-1)^3 = 2$

$t = -1 + \sqrt{3}$ のとき、$y = (3(-1+\sqrt{3})^2 - 3)x - 2(-1+\sqrt{3})^3 = (12-6\sqrt{3})x - 2(8-6\sqrt{3}) = (12-6\sqrt{3})x - 16 + 12\sqrt{3}$

$t = -1 - \sqrt{3}$ のとき、$y = (3(-1-\sqrt{3})^2 - 3)x - 2(-1-\sqrt{3})^3 = (12+6\sqrt{3})x - 2(8+6\sqrt{3}) = (12+6\sqrt{3})x - 16 - 12\sqrt{3}$

(1) の答え: $y = -2$

(2) の答え: $y = -3x$, $y = -2$

(3) の答え: $y = 2$, $y = (12-6\sqrt{3})x - 16 + 12\sqrt{3}$, $y = (12+6\sqrt{3})x - 16 - 12\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y=-2$

(2) $y=-3x$, $y=-2$

(3) $y=2$, $y = (12-6\sqrt{3})x - 16 + 12\sqrt{3}$, $y = (12+6\sqrt{3})x - 16 - 12\sqrt{3}$