次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{4x}{x^2+1} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{4x}{x^2+1} dx$

2. 解き方の手順

不定積分 $\int \frac{4x}{x^2+1} dx$ を求める。

ステップ１：置換積分を用いる。$u = x^2 + 1$ とおく。

ステップ２：$u$ を $x$ で微分すると $\frac{du}{dx} = 2x$ となるので、$du = 2x dx$ である。

ステップ３：与えられた積分を $u$ を用いて表すと、

$$\int \frac{4x}{x^2+1} dx = \int \frac{2}{x^2+1} (2x dx) = \int \frac{2}{u} du$$

となる。

ステップ４：$\int \frac{2}{u} du$ を計算する。

$$\int \frac{2}{u} du = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln |u| + C$$

ここで、$C$ は積分定数である。

ステップ５：$u = x^2 + 1$ を代入して、

$$2 \ln |x^2 + 1| + C$$

となる。$x^2 + 1 > 0$ であるから絶対値を外すことができる。

$$2 \ln (x^2 + 1) + C$$

3. 最終的な答え

$2 \ln(x^2 + 1) + C$