次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x} - \sqrt{x+2})$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x} - \sqrt{x+2})$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x} - \sqrt{x+2}$ に $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x+2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+2}}$ をかけます。

すると、

$(\sqrt{x} - \sqrt{x+2}) \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x+2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+2}} = \frac{x - (x+2)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+2}} = \frac{-2}{\sqrt{x} + \sqrt{x+2}}$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x} - \sqrt{x+2}) = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{x} + \sqrt{x+2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x} \to \infty$ かつ $\sqrt{x+2} \to \infty$ なので、$\sqrt{x} + \sqrt{x+2} \to \infty$です。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{x} + \sqrt{x+2}} = 0$

となります。

3. 最終的な答え

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