与えられた関数 $f(x, y)$ の、点 $(0, 0)$ における方向 $\mathbf{l} = (\cos\theta, \sin\theta)$ への方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0)$ を求める問題です。 (1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ (2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{|x||y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ (3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ の、点 $(0, 0)$ における方向 $\mathbf{l} = (\cos\theta, \sin\theta)$ への方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0)$ を求める問題です。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{|x||y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

方向微分係数の定義より、

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t \cos\theta, 0 + t \sin\theta) - f(0, 0)}{t}$

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ の場合:

$f(0, 0) = \cos 0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$

$f(t \cos\theta, t \sin\theta) = \cos(t \cos\theta) + \sin(t \sin\theta)$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos\theta) + \sin(t \sin\theta) - 1}{t}$

ここで、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ と $\sin x = x + O(x^3)$ を用いると

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \frac{(t \cos\theta)^2}{2} + t \sin\theta - 1 + O(t^3)}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{t \sin\theta - \frac{t^2 \cos^2\theta}{2} + O(t^3)}{t} = \lim_{t \to 0} (\sin\theta - \frac{t \cos^2\theta}{2} + O(t^2)) = \sin\theta$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{|x||y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合:

$f(0, 0) = 0$

$f(t \cos\theta, t \sin\theta) = \frac{|t \cos\theta||t \sin\theta|}{\sqrt{(t \cos\theta)^2 + (t \sin\theta)^2}} = \frac{t^2 |\cos\theta \sin\theta|}{\sqrt{t^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta)}} = \frac{t^2 |\cos\theta \sin\theta|}{|t|} = |t| |\cos\theta \sin\theta|$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{|t| |\cos\theta \sin\theta| - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|}{t} |\cos\theta \sin\theta|$

$t \to 0$ の近づき方によって極限が異なる場合があるので、これは存在しない。

$\theta = 0$ または $\theta = \pi/2$ または $\theta = \pi$ または $\theta = 3\pi/2$の時、 $\cos\theta\sin\theta = 0$になるので、 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = 0$

それ以外の時、極限は存在しない

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合:

$f(0, 0) = 0$

$f(t \cos\theta, t \sin\theta) = (t \cos\theta)(t \sin\theta) \sin \frac{1}{\sqrt{(t \cos\theta)^2 + (t \sin\theta)^2}} = t^2 \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{|t|}$

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{|t|}}{t} = \lim_{t \to 0} t \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{|t|}$

$-1 \leq \sin \frac{1}{|t|} \leq 1$ より、

$-|t \cos\theta \sin\theta| \leq t \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{|t|} \leq |t \cos\theta \sin\theta|$

$\lim_{t \to 0} -|t \cos\theta \sin\theta| = 0$ and $\lim_{t \to 0} |t \cos\theta \sin\theta| = 0$

挟み撃ちの原理より、

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = \sin\theta$

(2) $\theta = 0$ または $\theta = \pi/2$ または $\theta = \pi$ または $\theta = 3\pi/2$の時、 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = 0$。それ以外の時、方向微分係数は存在しない。

(3) $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0, 0) = 0$