(1) 関数 $f(x, y) = \arcsin(xy)$ の2階偏導関数を全て求める。 (2) 関数 $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x, y) = \arcsin(xy)$ の2階偏導関数を全て求める。

(2) 関数 $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = \arcsin(xy)$ の2階偏導関数を求める。

まず、1階偏導関数を求める。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = \frac{y}{\sqrt{1 - x^2y^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{1 - (xy)^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2y^2}}$

次に、2階偏導関数を求める。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{\sqrt{1 - x^2y^2}} \right) = \frac{y (1/2) (1 - x^2y^2)^{-3/2} (2xy^2)}{\sqrt{1 - x^2y^2}^2}= \frac{x y^3}{(1 - x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2y^2}} \right) = \frac{x (1/2) (1 - x^2y^2)^{-3/2} (2x^2y)}{\sqrt{1 - x^2y^2}^2}= \frac{x^3 y}{(1 - x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2y^2}} \right) = \frac{\sqrt{1 - x^2y^2} - x (1/2) (1 - x^2y^2)^{-1/2} (-2xy^2)}{(1 - x^2y^2)} = \frac{\sqrt{1 - x^2y^2} + \frac{x^2y^2}{\sqrt{1 - x^2y^2}}}{1 - x^2y^2} = \frac{1 - x^2y^2 + x^2y^2}{(1 - x^2y^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1 - x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{\sqrt{1 - x^2y^2}} \right) = \frac{\sqrt{1 - x^2y^2} - y (1/2) (1 - x^2y^2)^{-1/2} (-2x^2y)}{(1 - x^2y^2)} = \frac{\sqrt{1 - x^2y^2} + \frac{x^2y^2}{\sqrt{1 - x^2y^2}}}{1 - x^2y^2} = \frac{1 - x^2y^2 + x^2y^2}{(1 - x^2y^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1 - x^2y^2)^{3/2}}$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

まず、1階偏導関数を求める。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

次に、2階偏導関数を求める。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

したがって、

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{x y^3}{(1 - x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{x^3 y}{(1 - x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{1}{(1 - x^2y^2)^{3/2}}$

(2)

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$