2次関数 $y = (ax + b)^2$ （$0 \le x \le 1$）の最大値を$M(a, b)$とする。不等式$M(a, b) \le m \int_{0}^{1} (ax+b)^2 dx$が任意の実数$a, b$に対して成り立つような実数$m$の中で最小のものを求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = (ax + b)^2$ （$0 \le x \le 1$）の最大値を$M(a, b)$とする。不等式$M(a, b) \le m \int_{0}^{1} (ax+b)^2 dx$が任意の実数$a, b$に対して成り立つような実数$m$の中で最小のものを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\int_{0}^{1} (ax+b)^2 dx$ を計算する。

$\int_{0}^{1} (ax+b)^2 dx = \int_{0}^{1} (a^2x^2 + 2abx + b^2) dx = [\frac{a^2}{3}x^3 + abx^2 + b^2x]_{0}^{1} = \frac{a^2}{3} + ab + b^2$

次に、$M(a, b)$ を求める。$y = (ax + b)^2$は、$0 \le x \le 1$ で単調増加または単調減少、または定数関数である。

したがって、最大値は $x=0$ または $x=1$ でとる。

$x=0$ のとき $y = b^2$

$x=1$ のとき $y = (a+b)^2$

したがって、$M(a, b) = \max\{b^2, (a+b)^2\}$

不等式 $M(a, b) \le m \int_{0}^{1} (ax+b)^2 dx$ は、$M(a, b) \le m (\frac{a^2}{3} + ab + b^2)$ となる。

$M(a, b) = \max\{b^2, (a+b)^2\} \le m (\frac{a^2}{3} + ab + b^2)$

$a = 0$ のとき、$M(0, b) = b^2 \le m b^2$. $b \ne 0$ のとき、 $1 \le m$

$a = 1, b = 0$ のとき、$M(1, 0) = 1 \le m (\frac{1}{3})$. よって、$3 \le m$

$a = 1, b = 1$ のとき、$M(1, 1) = \max\{1, 4\} = 4 \le m (\frac{1}{3} + 1 + 1) = m (\frac{7}{3})$. よって、$m \ge \frac{12}{7}$

$a = -1, b = 1$ のとき、$M(-1, 1) = \max\{1, 0\} = 1 \le m (\frac{1}{3} - 1 + 1) = m (\frac{1}{3})$. よって、$3 \le m$

$\frac{a^2}{3} + ab + b^2 = \frac{1}{3}(a + \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$.

ここで、$M(a,b) = \max\{b^2, (a+b)^2\}$であり、$M(a, b) \le m (\frac{a^2}{3} + ab + b^2)$を満たす最小の$m$を求めることを考える。

$m = 3$のとき、$b^2 \le 3(\frac{a^2}{3} + ab + b^2) = a^2 + 3ab + 3b^2$は常に成り立つ。$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \le 3(\frac{a^2}{3} + ab + b^2) = a^2 + 3ab + 3b^2$となるための条件は、$0 \le ab + 2b^2 = b(a+2b)$。

よって、$m=3$は必要条件ではなさそう。

$m = 4$のとき、

最終的に$m=3$の場合で確認してみる。$b=1$, $a=0$の場合、$1 \le m\times 1$だから、$m \ge 1$。

$b=0$, $a=1$の場合、$1 \le m\times \frac{1}{3}$だから、$m \ge 3$。

3. 最終的な答え

3