$y=(\tan x)^{\sin x}$ を微分し、$y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

$y=(\tan x)^{\sin x}$ を微分し、$y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln((\tan x)^{\sin x}) = \sin x \ln(\tan x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律により、$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ となります。右辺は積の微分法を用います。

$(\sin x)' = \cos x$

$(\ln(\tan x))' = \frac{1}{\tan x} (\tan x)' = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$

よって、

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = (\sin x)' \ln(\tan x) + \sin x (\ln(\tan x))' = \cos x \ln(\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\sin x \cos x} = \cos x \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left(\cos x \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x}\right)$

$y = (\tan x)^{\sin x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = (\tan x)^{\sin x} \left(\cos x \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x}\right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\tan x)^{\sin x} \left(\cos x \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x}\right)$