$\int_{1}^{3} x^2 \ln x dx$ の定積分を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{3} x^2 \ln x dx$ の定積分を計算します。

2. 解き方の手順

この定積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

今回の問題では、$u = \ln x$、$dv = x^2 dx$ とします。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$ となります。

したがって、

$\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^2}{3} dx$

$\int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3}{9}$ なので、

$\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$

定積分を計算するために、上記の不定積分に積分範囲 $[1, 3]$ を適用します。

$\int_{1}^{3} x^2 \ln x dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} \right]_1^3 = \left( \frac{3^3}{3} \ln 3 - \frac{3^3}{9} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \ln 1 - \frac{1^3}{9} \right)$

$= \left( 9 \ln 3 - 3 \right) - \left( 0 - \frac{1}{9} \right) = 9 \ln 3 - 3 + \frac{1}{9} = 9 \ln 3 - \frac{27}{9} + \frac{1}{9} = 9 \ln 3 - \frac{26}{9}$

3. 最終的な答え

$9 \ln 3 - \frac{26}{9}$