関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く。ここで、$\log$ は自然対数とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く。ここで、$\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

(1) 定義域の確認:

$f(x)$ の定義域は $x > 0$ である。

(2) 導関数の計算:

$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

(3) 極値の計算:

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0$

$1 - \log x = 0$

$\log x = 1$

$x = e$

$x = e$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるかを調べる。

$x < e$ のとき、$\log x < 1$ なので $f'(x) > 0$

$x > e$ のとき、$\log x > 1$ なので $f'(x) < 0$

したがって、$x = e$ で極大値をとる。

極大値は $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$

(4) 二階導関数の計算:

$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2 \log x}{x^3}$

(5) 変曲点の計算:

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{-3 + 2 \log x}{x^3} = 0$

$-3 + 2 \log x = 0$

$2 \log x = 3$

$\log x = \frac{3}{2}$

$x = e^{\frac{3}{2}}$

$x = e^{\frac{3}{2}}$ の前後で $f''(x)$ の符号が変わるかを調べる。

$x < e^{\frac{3}{2}}$ のとき、$\log x < \frac{3}{2}$ なので $f''(x) < 0$

$x > e^{\frac{3}{2}}$ のとき、$\log x > \frac{3}{2}$ なので $f''(x) > 0$

したがって、$x = e^{\frac{3}{2}}$ で変曲点を持つ。

変曲点の $y$ 座標は $f(e^{\frac{3}{2}}) = \frac{\log e^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{3}{2}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}}$

(6) グラフの概形:

- $x \to 0$ のとき、$f(x) \to -\infty$

- $x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$

- $x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとる。

- $x=e^{\frac{3}{2}}$ で変曲点 $(\frac{3}{2} , \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}})$ をもつ。

3. 最終的な答え

- 定義域: $x > 0$

- 極大値: $x=e$ で $f(e) = \frac{1}{e}$

- 変曲点: $x = e^{\frac{3}{2}}$ で $f(e^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}}$

増減表とグラフの概形は省略します。上記の情報から概形を把握できます。