与えられた極限値を計算する問題です。 $$\lim_{x \to 0} \frac{(\arctan x)^{10}}{(\arcsin x)^{10}}$$

1. 問題の内容

与えられた極限値を計算する問題です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{(\arctan x)^{10}}{(\arcsin x)^{10}}$$

2. 解き方の手順

$x \to 0$ のとき、$\arctan x \approx x$ および $\arcsin x \approx x$ であることを利用します。より厳密には、以下の極限が成立することを用います。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{(\arctan x)^{10}}{(\arcsin x)^{10}} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\arctan x}{\arcsin x}\right)^{10} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\arctan x}{x} \cdot \frac{x}{\arcsin x}\right)^{10} = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\arcsin x}\right)^{10} = (1 \cdot 1)^{10} = 1^{10} = 1$$

3. 最終的な答え

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