$\log(1 + \sin x^2)$ を6次までマクローリン展開せよ。

1. 問題の内容

$\log(1 + \sin x^2)$ を6次までマクローリン展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x$ のマクローリン展開を求めます。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

次に、$\sin x^2$ のマクローリン展開を求めます。

$\sin x^2 = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \cdots = x^2 - \frac{x^6}{6} + O(x^{10})$

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

ここで、$x$ を $\sin x^2$ に置き換えます。

$\log(1 + \sin x^2) = \sin x^2 - \frac{(\sin x^2)^2}{2} + \frac{(\sin x^2)^3}{3} - \cdots$

$\sin x^2 = x^2 - \frac{x^6}{6} + O(x^{10})$ を代入します。

$(\sin x^2)^2 = (x^2 - \frac{x^6}{6} + O(x^{10}))^2 = x^4 + O(x^8)$

$(\sin x^2)^3 = (x^2 - \frac{x^6}{6} + O(x^{10}))^3 = x^6 + O(x^{10})$

したがって、

$\log(1 + \sin x^2) = (x^2 - \frac{x^6}{6}) - \frac{(x^4)}{2} + \frac{x^6}{3} + O(x^8)$

$= x^2 - \frac{x^4}{2} + (-\frac{1}{6} + \frac{1}{3})x^6 + O(x^8)$

$= x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6} + O(x^8)$

3. 最終的な答え

$x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6}$