$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの、次の関数の平均変化率を定義に従って求めます。 (1) $f(x) = -4x + 3$ (3) $f(x) = x^3 + x^2 + x - 1$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの、次の関数の平均変化率を定義に従って求めます。

(1) $f(x) = -4x + 3$

(3) $f(x) = x^3 + x^2 + x - 1$

2. 解き方の手順

問題文に与えられている平均変化率の定義 $\frac{f(a) - f(b)}{a - b}$ を利用します。

(1) $f(x) = -4x + 3$ の場合

$f(a) = -4a + 3$

$f(b) = -4b + 3$

平均変化率は、

$\frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{(-4a + 3) - (-4b + 3)}{a - b} = \frac{-4a + 3 + 4b - 3}{a - b} = \frac{-4a + 4b}{a - b} = \frac{-4(a - b)}{a - b} = -4$

(3) $f(x) = x^3 + x^2 + x - 1$ の場合

$f(a) = a^3 + a^2 + a - 1$

$f(b) = b^3 + b^2 + b - 1$

平均変化率は、

$\frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{(a^3 + a^2 + a - 1) - (b^3 + b^2 + b - 1)}{a - b} = \frac{a^3 + a^2 + a - 1 - b^3 - b^2 - b + 1}{a - b} = \frac{a^3 - b^3 + a^2 - b^2 + a - b}{a - b}$

ここで、因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ および $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を用いると、

$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b)(a + b) + (a - b)}{a - b} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2 + a + b + 1)}{a - b} = a^2 + ab + b^2 + a + b + 1$

3. 最終的な答え

(1) -4

(3) $a^2 + ab + b^2 + a + b + 1$