$\arccos(x)$ の導関数を求める問題です。つまり、 $\frac{d}{dx} \arccos(x)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\arccos(x)$ の導関数を求める問題です。つまり、

$\frac{d}{dx} \arccos(x)$

を計算します。

2. 解き方の手順

$y = \arccos(x)$ とおきます。

すると、$\cos(y) = x$ となります。

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \cos(y) = \frac{d}{dx} x$

$\cos(y)$ の微分には連鎖律を用います。

$-\sin(y) \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin(y)}$

ここで、$\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$ より $\sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)}$ です。ただし、$y = \arccos(x)$ の範囲は $0 \le y \le \pi$ なので、$\sin(y) \ge 0$ です。

$\cos(y) = x$ なので、$\sin(y) = \sqrt{1 - x^2}$ です。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

したがって、$\frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$