関数 $x^3 \cos x$ の第11次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $x^3 \cos x$ の第11次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いる。ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求めるための公式で、次の式で表される。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで $\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算される。

また、$u^{(n-k)}$ は $u(x)$ の $(n-k)$ 次導関数、$v^{(k)}$ は $v(x)$ の $k$ 次導関数を表す。

この問題では、$u(x) = x^3$、 $v(x) = \cos x$ とおく。

$u(x)$ の導関数を計算すると、次のようになる。

$u(x) = x^3$

$u'(x) = 3x^2$

$u''(x) = 6x$

$u'''(x) = 6$

$u^{(4)}(x) = 0$

以降、全ての高階導関数は0となる。

$v(x) = \cos x$ の導関数を計算すると、次のようになる。

$v(x) = \cos x$

$v'(x) = -\sin x$

$v''(x) = -\cos x$

$v'''(x) = \sin x$

$v^{(4)}(x) = \cos x$

$v^{(5)}(x) = -\sin x$

$v^{(6)}(x) = -\cos x$

$v^{(7)}(x) = \sin x$

$v^{(8)}(x) = \cos x$

$v^{(9)}(x) = -\sin x$

$v^{(10)}(x) = -\cos x$

$v^{(11)}(x) = \sin x$

$n = 11$ として、ライプニッツの公式を適用する。

$u^{(n-k)}$ が0でないのは、$n-k \le 3$ のとき、つまり、$k \ge 8$ のときのみである。よって、計算する必要があるのは、$k=8, 9, 10, 11$ の場合である。

$(uv)^{(11)} = \binom{11}{8} u^{(3)} v^{(8)} + \binom{11}{9} u^{(2)} v^{(9)} + \binom{11}{10} u^{(1)} v^{(10)} + \binom{11}{11} u^{(0)} v^{(11)}$

$= \binom{11}{8} (6) (\cos x) + \binom{11}{9} (6x) (-\sin x) + \binom{11}{10} (3x^2) (-\cos x) + \binom{11}{11} (x^3) (\sin x)$

$\binom{11}{8} = \frac{11!}{8!3!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$

$\binom{11}{9} = \frac{11!}{9!2!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$

$\binom{11}{10} = \frac{11!}{10!1!} = 11$

$\binom{11}{11} = 1$

$(uv)^{(11)} = 165(6) \cos x + 55(6x) (-\sin x) + 11(3x^2) (-\cos x) + 1(x^3) (\sin x)$

$= 990 \cos x - 330x \sin x - 33x^2 \cos x + x^3 \sin x$

3. 最終的な答え

$x^3 \sin x - 330x \sin x - 33x^2 \cos x + 990 \cos x$

もしくは

$(x^3 - 330x) \sin x + (-33x^2 + 990) \cos x$