関数 $x^3 \cos x$ の第11次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $x^3 \cos x$ の第11次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

積の微分法則とライプニッツの公式を利用して解きます。

ライプニッツの公式は以下の通りです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$u = x^3$、$v = \cos x$ とおきます。$n=11$ です。

$u=x^3$ の導関数を計算します。

$u'=3x^2$

$u''=6x$

$u'''=6$

$u^{(4)}=0$

$u^{(k)}=0$ $(k\ge 4)$

$v=\cos x$ の導関数を計算します。

$v'=-\sin x$

$v''=-\cos x$

$v'''=\sin x$

$v^{(4)}=\cos x$

一般に、$v^{(k)} = \cos(x + \frac{k\pi}{2})$ です。

ライプニッツの公式に当てはめると、

$(x^3\cos x)^{(11)} = \sum_{k=0}^{11} {}_{11} C_k (x^3)^{(11-k)} (\cos x)^{(k)}$

$x^3$ の4階以上の導関数は0なので、$11-k<4$、つまり$k>7$となる項のみを考えればよいです。

$k=8, 9, 10, 11$ の場合を考えます。

$k=8$のとき、${}_{11}C_8 (x^3)^{(3)} (\cos x)^{(8)} = \frac{11\cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} (6) \cos(x + \frac{8\pi}{2}) = 165 \cdot 6 \cos(x+4\pi) = 990 \cos x$

$k=9$のとき、${}_{11}C_9 (x^3)^{(2)} (\cos x)^{(9)} = \frac{11\cdot 10}{2 \cdot 1} (6x) \cos(x + \frac{9\pi}{2}) = 55 \cdot 6x \cos(x + \frac{9\pi}{2}) = 330x \sin x$

$k=10$のとき、${}_{11}C_{10} (x^3)^{(1)} (\cos x)^{(10)} = 11 (3x^2) \cos(x + \frac{10\pi}{2}) = 33x^2 \cos(x+5\pi) = -33x^2 \cos x$

$k=11$のとき、${}_{11}C_{11} (x^3)^{(0)} (\cos x)^{(11)} = 1 (x^3) \cos(x + \frac{11\pi}{2}) = x^3 \cos(x + \frac{11\pi}{2}) = -x^3 \sin x$

したがって、

$(x^3\cos x)^{(11)} = 990 \cos x + 330x \sin x - 33x^2 \cos x - x^3 \sin x$

3. 最終的な答え

$(x^3\cos x)^{(11)} = (990 - 33x^2)\cos x + (330x - x^3)\sin x$