関数 $f(x)$ が次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x^p}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ ここで、$p$ は定数です。 (1) $f'(x)$ を求めてください。 (2) $f'(x)$ が $x=0$ で連続になるための $p$ の条件を求めてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x^p}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

ここで、$p$ は定数です。

(1) $f'(x)$ を求めてください。

(2) $f'(x)$ が $x=0$ で連続になるための $p$ の条件を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $x \neq 0$ のとき、$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x^p})$ なので、積の微分公式と合成関数の微分公式を使って微分します。

$f'(x) = 2x \sin(\frac{1}{x^p}) + x^2 \cos(\frac{1}{x^p}) \cdot (-\frac{p}{x^{p+1}}) = 2x \sin(\frac{1}{x^p}) - \frac{p}{x^{p-1}} \cos(\frac{1}{x^p})$

$x=0$ のとき、微分係数の定義に従って計算します。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{h^p}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h^p})$

ここで、$-1 \leq \sin(\frac{1}{h^p}) \leq 1$ なので、$-|h| \leq h \sin(\frac{1}{h^p}) \leq |h|$ となり、$\lim_{h \to 0} |h| = 0$ より、挟みうちの原理から $f'(0) = 0$ となります。

したがって、$f'(x) = \begin{cases} 2x \sin(\frac{1}{x^p}) - \frac{p}{x^{p-1}} \cos(\frac{1}{x^p}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

(2) $f'(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = 0$ である必要があります。

$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} (2x \sin(\frac{1}{x^p}) - \frac{p}{x^{p-1}} \cos(\frac{1}{x^p}))$

$\lim_{x \to 0} 2x \sin(\frac{1}{x^p}) = 0$ であることは、(1)と同様に示せます。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{p}{x^{p-1}} \cos(\frac{1}{x^p}) = 0$ である必要があります。

$-1 \leq \cos(\frac{1}{x^p}) \leq 1$ なので、$|\frac{p}{x^{p-1}} \cos(\frac{1}{x^p})| \leq |\frac{p}{x^{p-1}}|$

$\lim_{x \to 0} |\frac{p}{x^{p-1}}| = 0$ となるためには、$p-1 < 0$ である必要があります。

したがって、$p > -1$ である必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \begin{cases} 2x \sin(\frac{1}{x^p}) - \frac{p}{x^{p-1}} \cos(\frac{1}{x^p}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

(2) $p > -1$