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与えられた4つの三角関数に関する式または不等式をそれぞれ解く問題です。 (1) $\cos 2\theta = -\cos \theta$ (2) $\sin 2\theta < \sin \theta$ (3) $\cos 2\theta + 9\sin \theta + 4 < 0$ (4) $\cos 2\theta > \sin \theta$

解析学三角関数三角関数の倍角の公式三角不等式三角方程式解の公式
2025/6/11

1. 問題の内容

与えられた4つの三角関数に関する式または不等式をそれぞれ解く問題です。
(1) cos⁡2θ=−cos⁡θ\cos 2\theta = -\cos \theta
(2) sin⁡2θ<sin⁡θ\sin 2\theta < \sin \theta
(3) cos⁡2θ+9sin⁡θ+4<0\cos 2\theta + 9\sin \theta + 4 < 0
(4) cos⁡2θ>sin⁡θ\cos 2\theta > \sin \theta

2. 解き方の手順

三角関数の倍角の公式、加法定理、三角関数の定義、不等式の性質などを利用して解きます。
(1) cos⁡2θ=−cos⁡θ\cos 2\theta = -\cos \theta
倍角の公式 cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 を用いると、
2cos⁡2θ−1=−cos⁡θ2\cos^2 \theta - 1 = -\cos \theta
2cos⁡2θ+cos⁡θ−1=02\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0
(2cos⁡θ−1)(cos⁡θ+1)=0(2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0
したがって、cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{2} または cos⁡θ=−1\cos \theta = -1
cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{2} のとき、θ=π3+2nπ,5π3+2nπ\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \frac{5\pi}{3} + 2n\pi (nは整数)
cos⁡θ=−1\cos \theta = -1 のとき、θ=π+2nπ=(2n+1)π\theta = \pi + 2n\pi = (2n+1)\pi (nは整数)
(2) sin⁡2θ<sin⁡θ\sin 2\theta < \sin \theta
倍角の公式 sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta を用いると、
2sin⁡θcos⁡θ<sin⁡θ2\sin \theta \cos \theta < \sin \theta
2sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θ<02\sin \theta \cos \theta - \sin \theta < 0
sin⁡θ(2cos⁡θ−1)<0\sin \theta (2\cos \theta - 1) < 0
sin⁡θ>0\sin \theta > 0 かつ 2cos⁡θ−1<02\cos \theta - 1 < 0 のとき、sin⁡θ>0\sin \theta > 0 かつ cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{2}
0<θ<π0 < \theta < \pi かつ π3<θ<5π3\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}
π3<θ<π\frac{\pi}{3} < \theta < \pi
sin⁡θ<0\sin \theta < 0 かつ 2cos⁡θ−1>02\cos \theta - 1 > 0 のとき、sin⁡θ<0\sin \theta < 0 かつ cos⁡θ>12\cos \theta > \frac{1}{2}
π<θ<2π\pi < \theta < 2\pi かつ 0<θ<π30 < \theta < \frac{\pi}{3} または 5π3<θ<2π\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi
5π3<θ<2π\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi
(3) cos⁡2θ+9sin⁡θ+4<0\cos 2\theta + 9\sin \theta + 4 < 0
cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta を用いると、
1−2sin⁡2θ+9sin⁡θ+4<01 - 2\sin^2 \theta + 9\sin \theta + 4 < 0
−2sin⁡2θ+9sin⁡θ+5<0-2\sin^2 \theta + 9\sin \theta + 5 < 0
2sin⁡2θ−9sin⁡θ−5>02\sin^2 \theta - 9\sin \theta - 5 > 0
(2sin⁡θ+1)(sin⁡θ−5)>0(2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 5) > 0
sin⁡θ−5<0\sin \theta - 5 < 0 は常に成り立つので、2sin⁡θ+1<02\sin \theta + 1 < 0 である必要がある。
sin⁡θ<−12\sin \theta < -\frac{1}{2}
7π6<θ<11π6\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}
(4) cos⁡2θ>sin⁡θ\cos 2\theta > \sin \theta
cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta を用いると、
1−2sin⁡2θ>sin⁡θ1 - 2\sin^2 \theta > \sin \theta
0>2sin⁡2θ+sin⁡θ−10 > 2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1
0>(2sin⁡θ−1)(sin⁡θ+1)0 > (2\sin \theta - 1)(\sin \theta + 1)
−1<sin⁡θ<12-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}
sin⁡θ>−1\sin \theta > -1 は常に成り立つので、sin⁡θ<12 \sin \theta < \frac{1}{2} を満たす必要がある。
−3π2<θ<π6-\frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{6} or 5π6<θ<9π2\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{9\pi}{2}

3. 最終的な答え

(1) θ=π3+2nπ,5π3+2nπ,(2n+1)π\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \frac{5\pi}{3} + 2n\pi, (2n+1)\pi (nは整数)
(2) π3<θ<π\frac{\pi}{3} < \theta < \pi, 5π3<θ<2π\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi
(3) 7π6<θ<11π6\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}
(4) −3π2<θ<π6-\frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{6} or 5π6<θ<9π2\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{9\pi}{2}

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