与えられた微分方程式 $y' = \frac{6y}{6x - 2y}$ の一般解を求め、条件 $x=1$ のとき $y=1$ を満たす解を、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = \frac{6y}{6x - 2y}$ の一般解を求め、条件 $x=1$ のとき $y=1$ を満たす解を、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を解きます。

$y' = \frac{6y}{6x - 2y}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6y}{6x - 2y}$

$\frac{dx}{dy} = \frac{6x - 2y}{6y} = \frac{x}{y} - \frac{1}{3}$

$\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = -\frac{1}{3}$

これは線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子は $e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{|y|}$

両辺に$\frac{1}{y}$をかけます（ここではy>0と仮定して計算を進めます。最後に一般化します。）。

$\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{x}{y^2} = -\frac{1}{3y}$

$\frac{d}{dy} (\frac{x}{y}) = -\frac{1}{3y}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dy} (\frac{x}{y}) dy = \int -\frac{1}{3y} dy$

$\frac{x}{y} = -\frac{1}{3} \ln|y| + C$

$3 \frac{x}{y} = - \ln|y| + 3C$

$3 \frac{x}{y} + \ln|y| = 3C$

$x=1$ のとき $y=1$ を代入します。

$3 \frac{1}{1} + \ln|1| = 3C$

$3 + 0 = 3C$

$C=1$

したがって、$3 \frac{x}{y} + \ln|y| = 3$ となります。

3. 最終的な答え

5. $3 \frac{x}{y} + \log|y| = 3$