微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{6y}{6x - 2y}$ の一般解を求め、条件 $x=1$ のとき $y=1$ となる解を、与えられた選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{6y}{6x - 2y}$ の一般解を求め、条件 $x=1$ のとき $y=1$ となる解を、与えられた選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は同次形なので、 $y = vx$ とおいて変数変換を行います。このとき $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ となります。これを元の式に代入すると、

$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{6vx}{6x - 2vx} = \frac{6v}{6 - 2v}$

$x \frac{dv}{dx} = \frac{6v}{6 - 2v} - v = \frac{6v - 6v + 2v^2}{6 - 2v} = \frac{2v^2}{6 - 2v} = \frac{v^2}{3 - v}$

両辺を $v$ と $x$ で分離すると、

$\frac{3 - v}{v^2} dv = \frac{1}{x} dx$

$\int (\frac{3}{v^2} - \frac{1}{v}) dv = \int \frac{1}{x} dx$

$-\frac{3}{v} - \log|v| = \log|x| + C$

$v = \frac{y}{x}$ を代入すると、

$-\frac{3x}{y} - \log|\frac{y}{x}| = \log|x| + C$

$-\frac{3x}{y} - \log|y| + \log|x| = \log|x| + C$

$-\frac{3x}{y} - \log|y| = C$

条件 $x = 1$ のとき $y = 1$ を代入すると、

$-\frac{3}{1} - \log|1| = C$

$-3 - 0 = C$

$C = -3$

したがって、解は

$-\frac{3x}{y} - \log|y| = -3$

$\frac{3x}{y} + \log|y| = 3$

$3 \frac{x}{y} + \log |y| = 3$

選択肢の中から探すと、これは4番の $3 \frac{x}{y} - \log |y| = 3$ ではありません。5番 $3 \frac{x}{y} + \log |y| = 3$ が一致します。

3. 最終的な答え

5. $3\frac{x}{y} + \log|y| = 3$