$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a}-b}{x-3} = \frac{3}{8}$ を満たす $a$ と $b$ を求める問題。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a}-b}{x-3} = \frac{3}{8}$ を満たす $a$ と $b$ を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 3$ のとき、分母が $0$ に近づくため、分子も $0$ に近づく必要がある。つまり、$\sqrt{3(3)+a}-b = 0$ でなければならない。

よって、$\sqrt{9+a} = b$ が成り立つ。

ここで、与えられた極限の式を書き換える。

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a}-b}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a}-\sqrt{9+a}}{x-3}$

次に、分子を有理化する。

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x+a}-\sqrt{9+a}}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{3x+a}-\sqrt{9+a})(\sqrt{3x+a}+\sqrt{9+a})}{(x-3)(\sqrt{3x+a}+\sqrt{9+a})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(3x+a)-(9+a)}{(x-3)(\sqrt{3x+a}+\sqrt{9+a})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{3x-9}{(x-3)(\sqrt{3x+a}+\sqrt{9+a})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{3(x-3)}{(x-3)(\sqrt{3x+a}+\sqrt{9+a})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{3}{\sqrt{3x+a}+\sqrt{9+a}}$

$x \to 3$ のとき、

$\frac{3}{\sqrt{3(3)+a}+\sqrt{9+a}} = \frac{3}{\sqrt{9+a}+\sqrt{9+a}} = \frac{3}{2\sqrt{9+a}}$

これが $\frac{3}{8}$ に等しいので、

$\frac{3}{2\sqrt{9+a}} = \frac{3}{8}$

$2\sqrt{9+a} = 8$

$\sqrt{9+a} = 4$

$9+a = 16$

$a = 7$

また、$b = \sqrt{9+a} = \sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = 4$