$f(x)=(x-a)e^{-x}$ が与えられており、$f'(0)=2$ を満たす。 (1) $a$ の値を求める。 (2) $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y=f(x)$ のグラフの概形を描く。

1. 問題の内容

$f(x)=(x-a)e^{-x}$ が与えられており、$f'(0)=2$ を満たす。

(1) $a$ の値を求める。

(2) $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y=f(x)$ のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f(x) = (x-a)e^{-x}$

$f'(x) = (1)e^{-x} + (x-a)(-e^{-x}) = e^{-x} - (x-a)e^{-x} = (1-x+a)e^{-x}$

$f'(0) = (1-0+a)e^{-0} = (1+a)(1) = 1+a$

$f'(0) = 2$ より、$1+a = 2$

したがって、$a = 1$

(2) $a=1$ を代入すると、$f(x) = (x-1)e^{-x}$

$f'(x) = (1-x+1)e^{-x} = (2-x)e^{-x}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$2-x = 0$ のとき、つまり、$x=2$

$f'(x) > 0$ となるのは、$2-x > 0$ のとき、つまり、$x < 2$

$f'(x) < 0$ となるのは、$2-x < 0$ のとき、つまり、$x > 2$

したがって、

$x < 2$ のとき、増加

$x > 2$ のとき、減少

$x = 2$ のとき、極大値をとる。

$f(2) = (2-1)e^{-2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

$f(x) = (x-1)e^{-x}$ において、$x \to \infty$ のとき、$\lim_{x \to \infty} (x-1)e^{-x} = 0$

$x \to -\infty$ のとき、$\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^{-x} = -\infty$

$f(0) = (0-1)e^{-0} = -1$

$f(1) = (1-1)e^{-1} = 0$

グラフの概形:

$x=1$ で $f(x) = 0$

$x=2$ で極大値 $f(2) = \frac{1}{e^2}$

$x$ が大きくなるにつれて、$f(x) \to 0$

3. 最終的な答え

(1) $a=1$

(2)

増減:

$x < 2$ で増加、$x > 2$ で減少

極値:

$x = 2$ で極大値 $f(2) = \frac{1}{e^2}$

グラフの概形:

x軸との交点は (1, 0)。

y軸との交点は (0, -1)。

x→∞のときf(x)→0。

x→-∞のときf(x)→-∞。

x=2で極大。