関数 $y = \sqrt{x}$ の $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x}$ の $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{x}$ を $x$ の冪乗の形で表す。

$y = x^{\frac{1}{2}}$

次に、導関数を繰り返し計算し、規則性を見つける。

1階微分:

$y' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$

2階微分:

$y'' = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{2}}$

3階微分:

$y''' = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) (-\frac{3}{2}) x^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8} x^{-\frac{5}{2}}$

4階微分:

$y'''' = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) (-\frac{3}{2}) (-\frac{5}{2}) x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{16} x^{-\frac{7}{2}}$

これらの導関数から一般形を推測する。符号は $n$ が偶数のとき負、奇数のとき正。係数は分母が $2^n$ で、分子は奇数の積になることがわかる。冪指数は $-\frac{2n-1}{2}$ である。したがって、

$y^{(n)} = (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) \cdots (-\frac{2n-3}{2}) x^{-\frac{2n-1}{2}}$

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3)}{2^n} x^{-\frac{2n-1}{2}}$

分母分子に $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n-2) = 2^{n-1} (n-1)!$ を掛けると、

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{2^n 2^{n-1} (n-1)!} x^{-\frac{2n-1}{2}}$

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{2^{2n-1} (n-1)!} x^{-\frac{2n-1}{2}}$

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{4^{n-1} 2(n-1)!} x^{-\frac{2n-1}{2}}$

ここで、$\frac{1}{2}$ から順に引いていく形にもっていく。

$y^{(n)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) \cdots (\frac{1}{2}-(n-1)) x^{\frac{1}{2} - n}$

$y^{(n)} = \frac{1}{2} (\frac{-1}{2})(\frac{-3}{2}) \cdots (\frac{-(2n-3)}{2}) x^{\frac{1}{2} - n}$

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3)}{2^n} x^{\frac{1}{2} - n}$

これは、$(-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!}x^{-\frac{2n-1}{2}}$と一致する。

したがって、$y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!}x^{-\frac{2n-1}{2}}$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!}x^{-\frac{2n-1}{2}}$

あるいは

$y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3)}{2^n} x^{-\frac{2n-1}{2}}$