以下の4つの極限値を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\tan^{-1}x}$ (2) $\lim_{x \to 1-0} \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ (4) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\tan x}{\log_2(\frac{\pi}{2}-x)}$

1. 問題の内容

以下の4つの極限値を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\tan^{-1}x}$

(2) $\lim_{x \to 1-0} \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$

(4) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\tan x}{\log_2(\frac{\pi}{2}-x)}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\tan^{-1}x}$

$x \to 0$のとき、$\sin^{-1}x \approx x$、$\tan^{-1}x \approx x$ と近似できるため、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\tan^{-1}x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

厳密には、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{\tan^{-1}x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\frac{1}{1+x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1+0}{\sqrt{1-0}} = 1$

(2) $\lim_{x \to 1-0} \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$

$x = 1-h$ とおくと、$x \to 1-0$ のとき、$h \to +0$ となる。

$\lim_{x \to 1-0} \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} = \lim_{h \to +0} \frac{1-\sqrt{1-h}}{\sqrt{h}}$

$1-\sqrt{1-h} = \frac{(1-\sqrt{1-h})(1+\sqrt{1-h})}{1+\sqrt{1-h}} = \frac{1-(1-h)}{1+\sqrt{1-h}} = \frac{h}{1+\sqrt{1-h}}$

$\lim_{h \to +0} \frac{1-\sqrt{1-h}}{\sqrt{h}} = \lim_{h \to +0} \frac{h}{\sqrt{h}(1+\sqrt{1-h})} = \lim_{h \to +0} \frac{\sqrt{h}}{1+\sqrt{1-h}} = \frac{0}{1+1} = 0$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$

ロピタルの定理を3回用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(4) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\tan x}{\log_2(\frac{\pi}{2}-x)}$

$t = \frac{\pi}{2} - x$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2} - 0$ のとき、$t \to +0$ となる。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\tan x}{\log_2(\frac{\pi}{2}-x)} = \lim_{t \to +0} \frac{\tan(\frac{\pi}{2}-t)}{\log_2(t)} = \lim_{t \to +0} \frac{\cot t}{\log_2(t)} = \lim_{t \to +0} \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\ln t}{\ln 2}} = \lim_{t \to +0} \frac{\ln 2 \cdot \cos t}{\sin t \cdot \ln t}$

$t \to 0$ のとき、$\cos t \to 1$、$\sin t \approx t$ であるから、

$\lim_{t \to +0} \frac{\ln 2 \cdot \cos t}{t \cdot \ln t} = \ln 2 \cdot \lim_{t \to +0} \frac{1}{t \ln t} = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) $\frac{1}{6}$

(4) $-\infty$