(2) 関数 $y = 2x^2 - 1$ ($x \geq 0$) の逆関数を求め、逆関数の定義域と値域を求め、さらに逆関数のグラフを求める。 (3) 関数 $y = -\sqrt{x}$ の逆関数を求め、逆関数の定義域と値域を求め、さらに逆関数のグラフを求める。(ただし、問題文にグラフを求める指示があるかは不明確なので、逆関数を求めるのみとする。)

1. 問題の内容

(2) 関数 $y = 2x^2 - 1$ ($x \geq 0$) の逆関数を求め、逆関数の定義域と値域を求め、さらに逆関数のグラフを求める。

(3) 関数 $y = -\sqrt{x}$ の逆関数を求め、逆関数の定義域と値域を求め、さらに逆関数のグラフを求める。(ただし、問題文にグラフを求める指示があるかは不明確なので、逆関数を求めるのみとする。)

2. 解き方の手順

(2)

ステップ1: $x$と$y$を入れ替える。

$x = 2y^2 - 1$

ステップ2: $y$について解く。

$x + 1 = 2y^2$

$y^2 = \frac{x + 1}{2}$

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2}}$

ステップ3: $x \geq 0$ なので、元の関数の値域は $y \geq -1$ である。したがって、逆関数の定義域は $x \geq -1$である。元の関数の定義域が $x \geq 0$ なので、逆関数の値域は $y \geq 0$ である。したがって、$y = \sqrt{\frac{x + 1}{2}}$ を選択する。

ステップ4: 逆関数の定義域と値域を確認する。

定義域: $x \geq -1$

値域: $y \geq 0$

(3)

ステップ1: $x$と$y$を入れ替える。

$x = -\sqrt{y}$

ステップ2: $y$について解く。

$-x = \sqrt{y}$

$y = (-x)^2$

$y = x^2$

ステップ3: 元の関数の定義域と値域を調べる。

定義域: $x \geq 0$

値域: $y \leq 0$

ステップ4: 逆関数の定義域と値域を確認する。

定義域: $x \leq 0$

値域: $y \geq 0$

3. 最終的な答え

(2)

逆関数: $y = \sqrt{\frac{x + 1}{2}}$

定義域: $x \geq -1$

値域: $y \geq 0$

(3)

逆関数: $y = x^2$

定義域: $x \leq 0$

値域: $y \geq 0$