問題は、関数 $y = 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 2\sin^2\theta + 2$ について以下の問いに答えるものです。 (8) $y$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ で表せ。 (9) $y$ を $y = r\sin(2\theta + \alpha) + p$ の形で表せ。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha < \pi$。 (10) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 2\sin^2\theta + 2$ について以下の問いに答えるものです。

(8) $y$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ で表せ。

(9) $y$ を $y = r\sin(2\theta + \alpha) + p$ の形で表せ。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha < \pi$。

(10) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(8) まず、与えられた関数を整理します。

$y = 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 2\sin^2\theta + 2$

倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ と $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ を用います。

また、$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を用います。

$y = \sqrt{3}(2\sin\theta\cos\theta) + 2\sin^2\theta + 2 = \sqrt{3}\sin 2\theta + 2(\frac{1-\cos 2\theta}{2}) + 2 = \sqrt{3}\sin 2\theta + 1 - \cos 2\theta + 2$

$y = \sqrt{3}\sin 2\theta - \cos 2\theta + 3$

(9) 次に、$y = \sqrt{3}\sin 2\theta - \cos 2\theta + 3$ を $y = r\sin(2\theta + \alpha) + p$ の形に変形します。

$r\sin(2\theta + \alpha) = r(\sin 2\theta \cos\alpha + \cos 2\theta \sin\alpha)$

$r\cos\alpha = \sqrt{3}$、 $r\sin\alpha = -1$

$r^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4$ より $r = 2$ （$r > 0$）。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$。

したがって、$y = 2\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + 3$

(10) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$y = 2\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + 3$ の最大値と最小値を求めます。

$0 \le \theta \le \pi$ より $0 \le 2\theta \le 2\pi$。

$-\frac{\pi}{6} \le 2\theta - \frac{\pi}{6} \le 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$。

$\sin$ の最大値は 1 で、最小値は -1。

最大値をとるのは $2\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき。

$2\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

このとき、$y = 2(1) + 3 = 5$。

最小値をとるのは $2\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ のとき。

$2\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$

$\theta = \frac{5\pi}{6}$

このとき、$y = 2(-1) + 3 = 1$。

3. 最終的な答え

(8) $y = \sqrt{3}\sin 2\theta - \cos 2\theta + 3$

(9) $y = 2\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + 3$

(10) 最大値：5 ($\theta = \frac{\pi}{3}$)、最小値：1 ($\theta = \frac{5\pi}{6}$)