与えられた4つの関数 $z$ をそれぞれ微分する問題です。それぞれの関数は以下の通りです。 (1) $z = \sqrt{x} (2 - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})$ (2) $z = \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$ (3) $z = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ (4) $z = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数 $z$ をそれぞれ微分する問題です。それぞれの関数は以下の通りです。

(1) $z = \sqrt{x} (2 - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})$

(2) $z = \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$

(3) $z = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

(4) $z = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$

2. 解き方の手順

(1) $z = \sqrt{x} (2 - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})$ の微分

まず、$z$ を展開します。

$z = 2\sqrt{x} - 3\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} = 2x^{1/2} - 3x^{1/2 - 1/3} = 2x^{1/2} - 3x^{1/6}$

$z$ を $x$ で微分します。

$\frac{dz}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} - 3 \cdot \frac{1}{6} x^{-5/6} = x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-5/6} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}}$

(2) $z = \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$ の微分

分母を有理化します。

$z = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{(x+1) - (x-1)} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{2}$

$z$ を $x$ で微分します。

$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right)$

(3) $z = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ の微分

$z = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2}$ なので、合成関数の微分を行います。

$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{(x+1)^{3/2} \sqrt{x-1}}$

(4) $z = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ の微分

$\frac{dz}{dx} = - \frac{1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}}}{(x + \sqrt{x^2 - 1})^2} = - \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x + \sqrt{x^2 - 1})^2} = - \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1} (x + \sqrt{x^2 - 1})^2} = - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} (x + \sqrt{x^2 - 1})}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}}$

(2) $\frac{dz}{dx} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right)$

(3) $\frac{dz}{dx} = \frac{1}{(x+1)^{3/2} \sqrt{x-1}}$

(4) $\frac{dz}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} (x + \sqrt{x^2 - 1})}$