次の2つの極限を求めます。 (i) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ (ii) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

次の2つの極限を求めます。

(i) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

(ii) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(i) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$について

$x \to \infty$のとき、$x^2 \to \infty$かつ$e^x \to \infty$であるため、この極限は$\frac{\infty}{\infty}$の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

まず、1回微分すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$

となります。これも$\frac{\infty}{\infty}$の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

2回微分すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}$

となります。ここで、$x \to \infty$のとき、$e^x \to \infty$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

となります。

(ii) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$について

$y = x^{\frac{1}{x}}$とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x = \frac{\ln x}{x}$

となります。

$x \to \infty$のとき、$\ln x \to \infty$かつ$x \to \infty$であるため、$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$は$\frac{\infty}{\infty}$の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$

$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

となります。

3. 最終的な答え

(i) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$

(ii) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$