次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{6x^2 - 5}{2x^3 - 5x + 3} dx$ (2) $\int \frac{\cos x}{\sin x + 2} dx$ (3) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$ (4) $\int \frac{x}{x^2 + 3} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

(1) $\int \frac{6x^2 - 5}{2x^3 - 5x + 3} dx$

(2) $\int \frac{\cos x}{\sin x + 2} dx$

(3) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

(4) $\int \frac{x}{x^2 + 3} dx$

2. 解き方の手順

(1) $2x^3 - 5x + 3$ を $u$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 6x^2 - 5$ となる。

よって、

$\int \frac{6x^2 - 5}{2x^3 - 5x + 3} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |2x^3 - 5x + 3| + C$

(2) $\sin x + 2$ を $u$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \cos x$ となる。

よって、

$\int \frac{\cos x}{\sin x + 2} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\sin x + 2| + C$

$\sin x + 2$ は常に正なので、$\log (\sin x + 2) + C$

(3) $e^x + e^{-x}$ を $u$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$ となる。

よって、

$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |e^x + e^{-x}| + C$

$e^x + e^{-x}$ は常に正なので、$\log (e^x + e^{-x}) + C$

(4) $x^2 + 3$ を $u$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 2x$ となる。

よって、

$\int \frac{x}{x^2 + 3} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log |u| + C = \frac{1}{2} \log |x^2 + 3| + C$

$x^2 + 3$ は常に正なので、$\frac{1}{2} \log (x^2 + 3) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\log |2x^3 - 5x + 3| + C$

(2) $\log (\sin x + 2) + C$

(3) $\log (e^x + e^{-x}) + C$

(4) $\frac{1}{2} \log (x^2 + 3) + C$