与えられた2つの値、$e^{-0.02}$ と $\sqrt{24}$ の近似値を、1次の近似式を使って求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの値、$e^{-0.02}$ と $\sqrt{24}$ の近似値を、1次の近似式を使って求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $e^{-0.02}$ の近似値を求める。

関数を $f(x) = e^x$ とします。

$x = 0$ における1次の近似式を利用します。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)(x-0)$

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(x) = e^x$

$f'(0) = e^0 = 1$

したがって、$e^x \approx 1 + x$ となります。

$x = -0.02$ を代入すると、

$e^{-0.02} \approx 1 - 0.02 = 0.98$

(2) $\sqrt{24}$ の近似値を求める。

関数を $g(x) = \sqrt{x}$ とします。

$x=25$ における1次の近似式を利用します。25は24に近い平方数です。

$g(x) \approx g(25) + g'(25)(x-25)$

$g(25) = \sqrt{25} = 5$

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$g'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10}$

したがって、$\sqrt{x} \approx 5 + \frac{1}{10}(x-25)$ となります。

$x = 24$ を代入すると、

$\sqrt{24} \approx 5 + \frac{1}{10}(24-25) = 5 - \frac{1}{10} = 5 - 0.1 = 4.9$

3. 最終的な答え

(1) $e^{-0.02} \approx 0.98$

(2) $\sqrt{24} \approx 4.9$